고등학교 공통수학2 · 집합과 명제 · 2022 개정 교육과정
[10공수2-02-08] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수2-02-08] 절대부등식의 뜻을 알고, 간단한 절대부등식을 증명할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
모든 실수에서 항상 성립하는 부등식인 절대부등식의 뜻을 알고, 완전제곱식이 0 이상이라는 사실이나 양변의 차를 이용해 간단한 절대부등식을 증명하는 성취기준이에요. 산술평균과 기하평균의 관계를 증명하고 등호가 성립하는 조건까지 밝히는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
절대부등식 증명하기
- 부등식 x² − 1 > 0 과 x² + 1 > 0 중 절대부등식인 것을 고르고, 다른 하나가 성립하지 않는 x의 예를 쓰세요.
- 실수 x에 대하여 x² + 4 ≥ 4x 가 성립함을 증명하고, 등호가 성립하는 x 값을 구하세요.
- a > 0, b > 0 일 때 (a + b)/2 ≥ √(ab) 임을 증명하고 등호가 성립하는 조건을 쓰세요.
- x > 0 일 때 x + 9/x 의 최솟값과 그때의 x 값을 구하세요.
- 둘레의 길이가 20 m인 직사각형 모양의 텃밭을 만들 때 넓이의 최댓값과 그때 가로와 세로의 길이를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 여러 부등식에 다양한 수를 대입해 보며 항상 성립하는 것과 그렇지 않은 것을 나누어 봐요.
- 전개 1: 양변의 차를 완전제곱식으로 정리해 0 이상임을 보이는 증명 방법을 익히고 등호 조건을 찾아요.
- 전개 2: a > 0, b > 0 에서 산술평균과 기하평균의 관계를 (√a − √b)² ≥ 0 으로 증명하고 그림으로 의미를 확인해요.
- 정리: 둘레가 정해진 직사각형의 넓이 최대 문제를 산술평균과 기하평균의 관계로 풀고 등호 조건을 확인해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
a > 0, b > 0 일 때 부등식 (a + 1/b)(b + 4/a) ≥ 9 가 성립함을 증명하고, 등호가 성립하는 조건을 구하시오. 증명 과정에서 사용한 절대부등식을 밝히시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 좌변을 ab + 4/(ab) + 5 로 전개하고 산술평균과 기하평균의 관계로 ab + 4/(ab) ≥ 4 임을 보여 증명하며, 등호 조건 ab = 2 를 정확히 구함 |
| 중 | 전개와 부등식 적용은 맞으나 등호 조건을 구하지 못하거나 사용한 절대부등식의 조건(양수)을 밝히지 않음 |
| 하 | 특정한 a, b 값을 대입해 성립함을 확인하는 데 그치거나 전개 과정에서 오류가 있음 |
세특 기재 예시 예시
절대부등식을 탐구하는 활동에서 여러 부등식에 수를 대입하여 항상 성립하는 경우와 그렇지 않은 경우를 구분함. 양변의 차를 완전제곱식으로 정리하는 방법으로 x² + 4 ≥ 4x 를 증명하고 등호 조건을 밝힘. 산술평균과 기하평균의 관계를 이용해 둘레가 정해진 텃밭의 넓이가 정사각형일 때 가장 큼을 설명하며, 증명마다 등호 조건을 확인하는 습관을 보임.
이 예시는 196자, 나이스 기준 476Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
몇 개의 수를 대입해 성립하면 절대부등식이라고 결론짓는 경우가 많아요. 또 산술평균과 기하평균의 관계를 음수에도 쓰거나 등호 조건을 확인하지 않고 최솟값을 말하는 실수가 있으니, 조건과 등호 성립 여부를 매번 함께 쓰게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 집합의 개념이나 집합의 포함관계는 개념을 이해하는 수준에서 간단히 평가한다.
- 충분조건, 필요조건, 필요충분조건은 구체적인 예를 통하여 이해하게 한다.
- 증명을 지도할 때는 직관적인 이해로부터 시작하여 점진적으로 형식화하게 한다.
- 집합과 명제를 이용한 수학적 근거를 바탕으로 비판적으로 사고하는 태도를 기르게 한다.
- 수학의 여러 내용 영역 및 실생활과 연결하여 집합과 명제의 유용성을 인식하게 한다.
- ‘원소나열법’, ‘조건제시법’, ‘유한집합’, ‘무한집합’, ‘서로 같다’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.