고등학교 공통수학2 · 집합과 명제 · 2022 개정 교육과정
[10공수2-02-07] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수2-02-07] 대우를 이용한 증명법과 귀류법을 이해하고 관련된 명제를 증명할 수 있다.
성취기준 해설
대우를 이용한 증명법과 귀류법을 이용한 명제의 증명은 간단한 것만 다룬다.
쉽게 풀어 보면
명제가 참임을 직접 보이기 어려울 때 쓰는 두 가지 간접 증명법, 대우를 이용한 증명법과 귀류법을 이해하는 성취기준이에요. 명제와 대우의 참, 거짓이 일치한다는 사실을 근거로 삼고, 귀류법에서는 결론을 부정했을 때 어떤 모순이 생기는지 찾아내는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
대우 증명과 귀류법
- 명제 '자연수 n에 대하여 n²이 짝수이면 n은 짝수이다'의 대우를 쓰고, n = 2k − 1 로 놓아 대우를 증명하세요.
- '두 정수 a, b에 대하여 a + b 가 홀수이면 a, b 중 적어도 하나는 홀수이다'를 대우를 이용하여 증명하세요.
- x가 유리수, y가 무리수일 때 x + y 가 무리수임을 귀류법으로 증명하세요.
- √2 가 무리수임을 귀류법으로 증명할 때 처음에 무엇을 가정하는지, 어디에서 모순이 생기는지 쓰세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: '비가 오면 땅이 젖는다'와 그 대우 '땅이 젖지 않았으면 비가 오지 않았다'를 비교해 참, 거짓이 함께 움직임을 확인해요.
- 전개 1: 홀수, 짝수에 관한 명제를 직접 증명하려다 막히는 경험을 한 뒤, 대우로 바꾸면 쉽게 증명됨을 함께 확인해요.
- 전개 2: 결론을 부정해 가정하고 모순을 찾아가는 귀류법의 흐름을 유리수와 무리수의 합 예시로 단계별로 따라가요.
- 정리: 두 증명법의 출발점이 어떻게 다른지 표로 비교하고, 어떤 명제에 어떤 방법이 알맞은지 이야기해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
자연수 n에 대하여 'n²이 3의 배수이면 n은 3의 배수이다'를 대우를 이용하여 증명하는 과정을 서술하시오. 단, 3의 배수가 아닌 자연수를 3k + 1, 3k + 2 꼴로 나누어 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 대우 'n이 3의 배수가 아니면 n²도 3의 배수가 아니다'를 바르게 쓰고, (3k + 1)² = 3(3k² + 2k) + 1, (3k + 2)² = 3(3k² + 4k + 1) + 1 로 두 경우 모두 나머지가 1임을 보임 |
| 중 | 대우는 바르게 썼으나 한 경우만 증명하거나, 전개 후 3으로 묶는 과정에 오류가 있음 |
| 하 | 대우 대신 역을 증명하거나, 몇 개의 수를 대입해 확인하는 것으로 증명을 대신함 |
세특 기재 예시 예시
간접 증명법을 탐구하는 수업에서 명제와 그 대우의 참과 거짓이 일치함을 근거로 홀수와 짝수에 관한 명제를 대우로 바꾸어 증명함. 유리수와 무리수의 합이 무리수임을 귀류법으로 증명하며 결론을 부정한 가정에서 모순이 생기는 지점을 정확히 짚어냄. 두 증명법의 차이를 표로 정리하여 발표함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
대우를 쓰라고 하면 역(q이면 p)을 쓰는 학생이 많아요. 대우는 가정과 결론을 바꾸고 둘 다 부정해야 한다는 점을 기호로 정리해 주세요. 귀류법에서는 결론의 부정을 가정한 뒤 무엇과 모순인지 밝히지 않고 끝내는 경우가 있으니 모순의 대상을 꼭 쓰게 해요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘집합과 명제’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘집합, 원소, 공집합, 부분집합, 진부분집합, 벤 다이어그램, 합집합, 교집합, 전체집합, 여집합, 차집합, (집합의) 서로소, (집합의) 교환법칙, (집합의) 결합법칙, (집합의) 분배법칙, 드모르간의 법칙, 명제, 가정, 결론, 정의, 정리, 조건, 진리집합, 부정, 역, 대우, 충분조건, 필요조건, 필요충분조건, 귀류법, 절대부등식, ∈∉, ∅, ⊂, ⊄, , ≠, ∪, ∩, , , , ,∼, →, ⇒, ⇔’를 다룬다.
- 집합의 개념이나 집합의 포함관계는 개념을 이해하는 수준에서 간단히 평가한다.
- 충분조건, 필요조건, 필요충분조건은 구체적인 예를 통하여 이해하게 한다.
- 증명을 지도할 때는 직관적인 이해로부터 시작하여 점진적으로 형식화하게 한다.
- 집합과 명제를 이용한 수학적 근거를 바탕으로 비판적으로 사고하는 태도를 기르게 한다.
- 수학의 여러 내용 영역 및 실생활과 연결하여 집합과 명제의 유용성을 인식하게 한다.
- ‘원소나열법’, ‘조건제시법’, ‘유한집합’, ‘무한집합’, ‘서로 같다’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.