고등학교 공통수학2 · 집합과 명제 · 2022 개정 교육과정
[10공수2-02-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수2-02-05] 명제의 역과 대우를 이해하고 설명할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
명제 'p이면 q이다'에서 가정과 결론을 바꾼 역과, 바꾸고 모두 부정한 대우를 이해하고 설명하는 성취기준이에요. 명제가 참이어도 역은 참이 아닐 수 있지만 대우는 원래 명제와 참, 거짓이 항상 같다는 점을 예로 확인하고, 대우를 이용한 증명에 활용하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
명제의 역과 대우
- 명제 'x = 2 이면 x² = 4 이다'의 역과 대우를 쓰고 각각의 참, 거짓을 판단하세요.
- 명제 '사각형이 정사각형이면 직사각형이다'의 역과 대우를 쓰고 참, 거짓을 판단하세요.
- 자연수 n에 대하여 'n²이 짝수이면 n은 짝수이다'를 대우를 이용하여 증명하세요.
- 실수 x, y에 대하여 명제 'x + y > 2 이면 x > 1 또는 y > 1 이다'의 대우를 쓰고, 대우가 참임을 보여 원래 명제가 참임을 설명하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: '비가 오면 땅이 젖는다'를 거꾸로 말한 문장도 항상 맞는지 이야기하며 역의 뜻을 떠올려요.
- 전개 1: 여러 명제의 역과 대우를 쓰고 참, 거짓을 표로 정리해 원래 명제와 대우의 참, 거짓이 같다는 규칙을 찾아요.
- 전개 2: 벤다이어그램에서 P ⊂ Q 이면 Q에 속하지 않는 원소는 P에도 속하지 않음을 확인해 대우의 원리를 설명해요.
- 정리: 직접 증명하기 어려운 명제를 대우로 바꾸어 증명하고 어떤 경우에 대우가 편리한지 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
자연수 m, n에 대하여 명제 'mn이 홀수이면 m과 n은 모두 홀수이다'를 대우를 이용하여 증명하시오. 또 이 명제의 역을 쓰고 참, 거짓을 판단하여 그 근거를 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 대우 'm 또는 n이 짝수이면 mn은 짝수이다'를 정확히 쓰고 짝수를 2k로 나타내 증명하며, 역 'm, n이 모두 홀수이면 mn은 홀수이다'가 참임을 식으로 보임 |
| 중 | 대우를 이용한 증명은 했으나 '모두'의 부정을 '모두 짝수'로 잘못 쓰거나 역의 참, 거짓 근거가 부족함 |
| 하 | 역과 대우를 혼동하거나 구체적인 수 몇 개를 대입한 확인에 그침 |
세특 기재 예시 예시
명제의 역과 대우를 탐구하는 활동에서 여러 명제의 역과 대우를 표로 정리하여 원래 명제와 대우의 참, 거짓이 항상 같음을 발견함. 벤다이어그램을 이용해 포함관계로 대우의 원리를 설명함. 'n²이 짝수이면 n은 짝수이다'를 대우로 바꾸어 홀수를 2k + 1 로 놓고 증명하며, '모두'와 '또는'의 부정을 정확히 구분하는 모습을 보임.
이 예시는 186자, 나이스 기준 436Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
명제가 참이면 역도 참이라고 여기거나, 대우를 만들 때 가정과 결론을 바꾸기만 하고 부정하지 않는 실수가 많아요. 'x > 1 또는 y > 1'의 부정을 'x ≤ 1 또는 y ≤ 1'로 쓰는 경우도 있으니 '또는'과 '그리고'의 부정을 따로 연습하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 집합의 개념이나 집합의 포함관계는 개념을 이해하는 수준에서 간단히 평가한다.
- 충분조건, 필요조건, 필요충분조건은 구체적인 예를 통하여 이해하게 한다.
- 증명을 지도할 때는 직관적인 이해로부터 시작하여 점진적으로 형식화하게 한다.
- 집합과 명제를 이용한 수학적 근거를 바탕으로 비판적으로 사고하는 태도를 기르게 한다.
- 수학의 여러 내용 영역 및 실생활과 연결하여 집합과 명제의 유용성을 인식하게 한다.
- ‘원소나열법’, ‘조건제시법’, ‘유한집합’, ‘무한집합’, ‘서로 같다’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.