고등학교 공통수학2 · 집합과 명제 · 2022 개정 교육과정
[10공수2-02-04] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수2-02-04] 명제와 조건의 뜻을 알고, ‘모든’, ‘어떤’을 포함한 명제를 이해하고 설명할 수 있다.
성취기준 해설
명제와 조건의 뜻은 수학적인 문장을 이해하는 수준에서 간단히 다룬다.‘모든’, ‘어떤’을 포함한 명제는 구체적인 상황을 이용하여 도입한다.
쉽게 풀어 보면
참, 거짓을 판별할 수 있는 문장인 명제와, 변수의 값에 따라 참, 거짓이 달라지는 조건을 구분하고 '모든', '어떤'이 붙은 명제의 참, 거짓을 판단하는 성취기준이에요. 구체적인 상황에서 시작해 '모든'은 반례 하나로 거짓이 되고 '어떤'은 예 하나로 참이 된다는 것을 이해하게 하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
명제, 조건, '모든'과 '어떤'
- 다음 문장을 명제, 조건, 명제가 아닌 것으로 분류하세요: 3은 소수이다 / 2 + 3 = 6 / x + 1 = 3 / 수학은 재미있다.
- 실수 전체의 집합에서 조건 x² − 4x + 3 = 0 의 진리집합을 구하세요.
- '모든 실수 x에 대하여 x² ≥ 0 이다'와 '어떤 실수 x에 대하여 x² < 0 이다'의 참, 거짓을 판별하세요.
- '모든 자연수 x에 대하여 x + 1 > 2 이다'가 거짓임을 반례를 들어 보이세요.
- '어떤 자연수 x에 대하여 x² = 2x 이다'가 참인 이유를 쓰세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: '우리 반 모든 학생은 안경을 쓴다', '우리 반 어떤 학생은 안경을 쓴다'를 교실에서 직접 확인하며 두 표현의 차이를 느껴요.
- 전개 1: 여러 문장을 명제, 조건, 명제가 아닌 것으로 분류하고, 조건은 변수의 값이 정해져야 참, 거짓이 결정됨을 확인해요.
- 전개 2: 진리집합을 이용해 '모든'은 진리집합이 전체집합과 같을 때, '어떤'은 진리집합이 공집합이 아닐 때 참임을 정리해요.
- 정리: 친구가 만든 '모든', '어떤' 명제의 참, 거짓을 판별하고 반례나 예를 들어 근거를 말해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
전체집합 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}에서 조건 p: x는 짝수이다, q: x² > 10 일 때, 진리집합 P, Q를 구하고 '모든 x에 대하여 p이면 q이다'와 '어떤 x에 대하여 p이고 q이다'의 참, 거짓을 근거와 함께 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | P = {2, 4, 6}, Q = {4, 5, 6}을 구하고, x = 2 가 반례이므로 앞 명제는 거짓, x = 4 또는 6 이 존재하므로 뒤 명제는 참임을 진리집합과 연결해 설명함 |
| 중 | 진리집합은 바르게 구했으나 두 명제 중 하나의 판단 근거가 부족하거나 반례를 제시하지 못함 |
| 하 | 진리집합을 잘못 구하거나, '모든'과 '어떤'의 차이를 구분하지 못해 두 명제를 같은 기준으로 판단함 |
세특 기재 예시 예시
명제와 조건을 구분하는 활동에서 여러 수학적 문장의 참과 거짓이 변수의 값에 따라 달라지는지를 기준으로 분류함. '모든'이 포함된 명제는 반례 하나로 거짓이 되고 '어떤'이 포함된 명제는 예 하나로 참이 됨을 진리집합을 이용하여 설명함. 친구가 만든 명제에 반례를 찾아 제시하며 근거를 들어 토론함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
'모든'이 붙은 명제를 예 몇 개로 확인하고 참이라고 판단하는 학생이 많아요. 예를 아무리 많이 들어도 '모든'을 보일 수 없지만, 반례 하나면 거짓이 된다는 점을 강조해 주세요. 반대로 '어떤'은 성립하는 예 하나만 찾으면 참이에요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘집합과 명제’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘집합, 원소, 공집합, 부분집합, 진부분집합, 벤 다이어그램, 합집합, 교집합, 전체집합, 여집합, 차집합, (집합의) 서로소, (집합의) 교환법칙, (집합의) 결합법칙, (집합의) 분배법칙, 드모르간의 법칙, 명제, 가정, 결론, 정의, 정리, 조건, 진리집합, 부정, 역, 대우, 충분조건, 필요조건, 필요충분조건, 귀류법, 절대부등식, ∈∉, ∅, ⊂, ⊄, , ≠, ∪, ∩, , , , ,∼, →, ⇒, ⇔’를 다룬다.
- 집합의 개념이나 집합의 포함관계는 개념을 이해하는 수준에서 간단히 평가한다.
- 충분조건, 필요조건, 필요충분조건은 구체적인 예를 통하여 이해하게 한다.
- 증명을 지도할 때는 직관적인 이해로부터 시작하여 점진적으로 형식화하게 한다.
- 집합과 명제를 이용한 수학적 근거를 바탕으로 비판적으로 사고하는 태도를 기르게 한다.
- 수학의 여러 내용 영역 및 실생활과 연결하여 집합과 명제의 유용성을 인식하게 한다.
- ‘원소나열법’, ‘조건제시법’, ‘유한집합’, ‘무한집합’, ‘서로 같다’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.