고등학교 공통수학2 · 집합과 명제 · 2022 개정 교육과정
[10공수2-02-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수2-02-03] 집합의 연산을 수행하고, 벤 다이어그램을 이용하여 나타낼 수 있다.
성취기준 해설
집합의 연산은 합집합, 교집합, 여집합, 차집합을 다루고, 집합의 연산에 관한 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 드모르간의 법칙은 벤 다이어그램으로 확인하는 정도로 간단히 다룬다.
쉽게 풀어 보면
합집합, 교집합, 여집합, 차집합을 구하고 벤 다이어그램으로 나타내는 성취기준이에요. 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 드모르간의 법칙은 증명보다 벤 다이어그램에 색칠해 확인하는 수준으로 다루고, 집합의 연산이 조건을 '그리고', '또는', '아니다'로 묶는 일과 같다는 감각을 기르는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
집합의 연산과 벤 다이어그램
- U = {1, 2, 3, …, 10}, A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9} 일 때 A ∪ B, A ∩ B, A − B, Aᶜ 을 구하세요.
- 위의 집합으로 (A ∪ B)ᶜ 과 Aᶜ ∩ Bᶜ 을 각각 구하고, 벤 다이어그램에 색칠해 두 집합이 같은지 확인하세요.
- A − B 와 B − A 를 각각 구하고, 차집합에서 순서를 바꾸면 결과가 같은지 쓰세요.
- 30명의 학급에서 축구를 좋아하는 학생이 18명, 농구를 좋아하는 학생이 12명, 둘 다 좋아하는 학생이 7명일 때 둘 다 좋아하지 않는 학생 수를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 우리 반 학생을 '안경을 쓴 학생', '운동부 학생'으로 나눠 보며 '그리고', '또는', '아닌'에 해당하는 모임을 찾아요.
- 전개 1: 합집합, 교집합, 여집합, 차집합의 뜻을 기호와 벤 다이어그램으로 함께 정리하고 원소를 나열해 구해요.
- 전개 2: 모둠별로 벤 다이어그램에 색칠하여 분배법칙과 드모르간의 법칙이 성립하는지 확인하고 결과를 발표해요.
- 정리: 학급 설문 자료를 벤 다이어그램으로 나타내 원소의 개수를 구하고, 겹치는 부분을 두 번 세지 않도록 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {2, 4, 6, 8} 일 때, A ∩ (B ∪ C)와 (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)를 각각 구하고 벤 다이어그램을 이용하여 두 집합이 같은 이유를 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 두 집합이 모두 {2, 3, 4}임을 단계별로 구하고, 벤 다이어그램의 색칠한 영역이 일치함을 근거로 분배법칙을 설명함 |
| 중 | 두 집합을 바르게 구했으나 벤 다이어그램 설명이 부족하거나, 중간 과정에서 원소 하나를 빠뜨렸다가 결과만 맞춤 |
| 하 | 합집합과 교집합을 혼동하여 결과가 다르게 나오거나, 벤 다이어그램을 그리지 못함 |
세특 기재 예시 예시
집합의 연산을 시각적으로 이해하는 활동에서 벤 다이어그램에 영역을 색칠하여 드모르간의 법칙과 분배법칙이 성립함을 확인함. 학급 설문 결과를 두 집합으로 정리하고 겹치는 부분을 고려해 원소의 개수를 바르게 구함. 차집합은 순서를 바꾸면 결과가 달라짐을 예를 들어 설명함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
(A ∪ B)ᶜ 을 Aᶜ ∪ Bᶜ 으로 쓰거나, A − B 와 B − A 를 같다고 생각하는 학생이 많아요. 기호만으로 판단하지 말고 벤 다이어그램에 직접 색칠해 비교하게 해 주세요. 원소의 개수를 구할 때 교집합을 빼지 않아 두 번 세는 실수도 자주 나와요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘집합과 명제’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘집합, 원소, 공집합, 부분집합, 진부분집합, 벤 다이어그램, 합집합, 교집합, 전체집합, 여집합, 차집합, (집합의) 서로소, (집합의) 교환법칙, (집합의) 결합법칙, (집합의) 분배법칙, 드모르간의 법칙, 명제, 가정, 결론, 정의, 정리, 조건, 진리집합, 부정, 역, 대우, 충분조건, 필요조건, 필요충분조건, 귀류법, 절대부등식, ∈∉, ∅, ⊂, ⊄, , ≠, ∪, ∩, , , , ,∼, →, ⇒, ⇔’를 다룬다.
- 집합의 개념이나 집합의 포함관계는 개념을 이해하는 수준에서 간단히 평가한다.
- 충분조건, 필요조건, 필요충분조건은 구체적인 예를 통하여 이해하게 한다.
- 증명을 지도할 때는 직관적인 이해로부터 시작하여 점진적으로 형식화하게 한다.
- 집합과 명제를 이용한 수학적 근거를 바탕으로 비판적으로 사고하는 태도를 기르게 한다.
- 수학의 여러 내용 영역 및 실생활과 연결하여 집합과 명제의 유용성을 인식하게 한다.
- ‘원소나열법’, ‘조건제시법’, ‘유한집합’, ‘무한집합’, ‘서로 같다’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.