고등학교 공통수학2 · 도형의 방정식 · 2022 개정 교육과정
[10공수2-01-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수2-01-05] 좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 판단하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
원과 직선이 두 점에서 만나는지, 접하는지, 만나지 않는지를 판별식이나 원의 중심과 직선 사이의 거리로 판단하고 문제 해결에 활용하는 성취기준이에요. 두 방법이 같은 결론을 낸다는 것을 확인하고, 접선의 방정식과 현의 길이처럼 위치 관계가 쓰이는 상황으로 넓히는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
원과 직선의 위치 관계 판단하기
- 원 x² + y² = 5 와 직선 y = 2x + k 가 접할 때, k 값을 판별식과 거리 두 가지 방법으로 구하세요.
- 원 (x − 1)² + (y − 2)² = 4 와 직선 3x + 4y + k = 0 이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 k의 범위를 구하세요.
- 원 x² + y² = 10 위의 점 (1, 3)에서의 접선의 방정식을 구하세요.
- 원 x² + y² = 4 와 직선 y = x + 1 이 만나서 생기는 현의 길이를 구하세요.
- 원점에 있는 기지국의 신호가 반경 5 km까지 닿고, 직선 도로가 3x + 4y − 20 = 0 일 때 도로에서 신호가 닿는 구간의 길이를 구하세요. (단위: km)
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 원 하나와 기울기가 같은 직선 여러 개를 그려 보며 만나는 점의 개수가 어떻게 바뀌는지 관찰해요.
- 전개 1: 원과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식 부호로 위치 관계를 나누어 정리해요.
- 전개 2: 원의 중심에서 직선까지의 거리와 반지름을 비교하는 방법으로 같은 문제를 다시 풀어 두 방법의 결과를 비교해요.
- 정리: 접선의 방정식, 현의 길이, 기지국 신호 범위 문제를 풀며 상황에 맞는 방법을 골라 써요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
원 x² + y² = 9 와 직선 y = mx + 5 의 위치 관계를 m 값에 따라 분류하는 과정을 서술하시오. 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용하고, 판별식으로도 같은 결과가 나오는지 확인하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 거리 5/√(m² + 1)과 반지름 3을 비교해 |m| > 4/3 이면 두 점, |m| = 4/3 이면 접함, |m| < 4/3 이면 만나지 않음을 구하고 판별식 9m² − 16 으로 같은 결과를 확인함 |
| 중 | 한 가지 방법으로 세 경우를 바르게 분류했으나 다른 방법의 확인이 빠지거나 부등식 풀이 과정이 일부 생략됨 |
| 하 | 접하는 경우만 구하거나 부등호 방향을 거꾸로 써서 위치 관계를 잘못 분류함 |
세특 기재 예시 예시
원과 직선의 위치 관계를 탐구하는 활동에서 판별식을 이용한 방법과 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용한 방법으로 같은 문제를 풀어 결과가 일치함을 확인함. 계산량을 비교하여 거리를 이용하는 방법이 더 간단한 경우를 스스로 찾아 정리함. 기지국 신호 범위 문제에서 도로가 신호를 받는 구간의 길이를 현의 길이로 해석하여 피타고라스 정리로 구하고 풀이를 발표함.
이 예시는 201자, 나이스 기준 499Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
판별식 D > 0 과 거리 d < r 이 같은 뜻인데 부등호 방향을 서로 반대로 연결하는 실수가 많아요. 또 원 위의 점에서의 접선 공식 x₁x + y₁y = r² 을 중심이 원점이 아닌 원에 그대로 쓰는 경우가 있으니 공식이 성립하는 조건을 함께 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 도형의 방정식 학습을 통해 대수와 기하를 연결하는 사고의 전환으로 수학에 대한 흥미와 관심을 갖도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 두 직선의 평행 조건과 수직 조건은 중학교에서 학습한 일차방정식과 일차함수의 그래프, 직선의 방정식과 연계하여 다룰 수 있다.
- 직선의 방정식, 원의 방정식, 도형의 이동을 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 도형의 이동을 실생활에 적용해 보는 활동을 통해 그 유용성을 인식하게 한다.
- 도형의 방정식은 도형을 좌표평면에서 다룰 수 있음을 이해하는 수준에서 다루고, 계산이 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 좌표축의 평행이동은 다루지 않는다.
- ‘내분점’, ‘원의 방정식’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.