고등학교 공통수학2 · 도형의 방정식 · 2022 개정 교육과정
[10공수2-01-01] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수2-01-01] 선분의 내분을 이해하고, 내분점의 좌표를 계산할 수 있다.
성취기준 해설
선분의 내분을 도입하기 전에 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 다루고, 내분은 수직선 위에서, 좌표평면 위에서 구할 수 있도록 점차 확장하여 다룬다.
쉽게 풀어 보면
두 점 사이의 거리를 먼저 구하고, 선분을 주어진 비로 나누는 내분점의 좌표를 수직선에서 좌표평면으로 넓혀 계산하는 성취기준이에요. 내분점 공식을 외우기보다 거리의 비가 m : n 이 되는 점이라는 뜻을 수직선 그림으로 이해하고, 좌표평면에서는 x좌표와 y좌표에 각각 적용한다는 것을 아는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
두 점 사이의 거리와 내분점
- 수직선 위의 두 점 A(−2), B(7)에 대하여 선분 AB를 2 : 1 로 내분하는 점의 좌표를 구하세요.
- 좌표평면 위의 두 점 A(1, 2), B(4, 6) 사이의 거리를 구하세요.
- 두 점 A(1, 2), B(7, −1)에 대하여 선분 AB를 1 : 2 로 내분하는 점의 좌표를 구하세요.
- 두 점 A(−3, 5), B(5, −1)을 잇는 선분의 중점을 구하고, 중점이 1 : 1 내분점인 이유를 쓰세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 수직선 위 두 점 사이에 친구들이 설 자리를 정하는 상황으로 '거리를 2 : 1 로 나누는 점'의 뜻을 몸으로 확인해요.
- 전개 1: 피타고라스 정리로 좌표평면 위 두 점 사이의 거리 공식을 유도하고 간단한 예에 적용해요.
- 전개 2: 수직선에서 내분점 공식을 만든 뒤, 좌표평면에서는 x좌표와 y좌표에 따로 적용하면 된다는 것을 그림으로 확인해요.
- 정리: 구한 내분점에서 양 끝점까지의 거리를 계산해 실제로 비가 m : n 인지 검산하고 공식의 의미를 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
두 마을 A(0, 0), B(9, 12)를 잇는 직선 도로 위에, A에서 B 방향으로 거리의 비가 2 : 1 이 되는 곳에 정류장 P를 세우려 한다. 점 P의 좌표를 구하고, AP와 PB의 길이를 계산하여 비가 맞는지 확인하는 과정을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 내분점 공식으로 P(6, 8)을 구하고 AP = 10, PB = 5 를 거리 공식으로 계산하여 2 : 1 임을 확인하며, AB = 15 와의 관계도 설명함 |
| 중 | P의 좌표는 바르게 구했으나 거리 검산이 빠지거나, 거리 계산 중 하나에 오류가 있음 |
| 하 | m과 n의 위치를 바꾸어 P(3, 4)를 구하거나, 내분점의 뜻을 설명하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
좌표를 이용해 도형을 다루는 수업에서 피타고라스 정리로 두 점 사이의 거리 공식을 유도함. 수직선 위의 내분점 공식을 좌표평면으로 확장하여 두 마을 사이 정류장의 위치를 구하고, 거리 계산으로 비가 맞는지 검산함. 공식 속 m과 n의 위치가 바뀌면 어떤 점이 나오는지 그림으로 비교하여 설명함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
m : n 내분점 공식에서 m을 점 A의 좌표에, n을 점 B의 좌표에 곱하는 실수가 많아요. 내분점은 비가 큰 쪽 끝점에서 더 멀리 떨어진다는 점을 수직선 그림으로 보여 주고, 구한 점에서 양 끝까지의 거리를 계산해 검산하는 습관을 들이게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘도형의 방정식’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘내분, 대칭이동, ’을 다룬다.
- 도형의 방정식 학습을 통해 대수와 기하를 연결하는 사고의 전환으로 수학에 대한 흥미와 관심을 갖도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 두 직선의 평행 조건과 수직 조건은 중학교에서 학습한 일차방정식과 일차함수의 그래프, 직선의 방정식과 연계하여 다룰 수 있다.
- 직선의 방정식, 원의 방정식, 도형의 이동을 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 도형의 이동을 실생활에 적용해 보는 활동을 통해 그 유용성을 인식하게 한다.
- 도형의 방정식은 도형을 좌표평면에서 다룰 수 있음을 이해하는 수준에서 다루고, 계산이 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 좌표축의 평행이동은 다루지 않는다.
- ‘내분점’, ‘원의 방정식’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.