중학교 수학 · 도형과 측정 · 2022 개정 교육과정
[9수03-17] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[9수03-17] 삼각비를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.
성취기준 해설
삼각비를 활용하여 직접 측정하기 어려운 거리나 높이 등을 구해 보는 활동을 통해 유용성을 인식하고 흥미를 느낄 수 있게 한다.
쉽게 풀어 보면
사인, 코사인, 탄젠트를 이용해 나무 높이나 강 너비처럼 직접 재기 어려운 거리와 높이를 구하는 성취기준이에요. 실제 상황을 직각삼각형으로 모델링하고 알고 있는 변과 각에 따라 알맞은 삼각비를 고르는 판단 과정이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
삼각비로 높이와 거리 구하기
- 나무에서 10 m 떨어진 곳에서 나무 꼭대기를 올려본각이 35°였어요. 눈높이 1.5 m를 고려하여 나무의 높이를 구하세요. (tan 35°=0.70)
- 길이가 6 m인 사다리를 벽에 기대었더니 사다리와 지면이 이루는 각이 60°였어요. 사다리 끝이 닿은 곳의 높이를 구하세요.
- 두 변의 길이가 8 cm, 10 cm이고 그 끼인각이 30°인 삼각형에서 높이를 삼각비로 구한 뒤 넓이를 구하세요.
- 강 건너편 나무까지의 거리처럼 직접 잴 수 없는 거리를 삼각비로 구하는 상황을 하나 만들고, 필요한 측정값을 쓰세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 학교 국기 게양대의 높이를 줄자 없이 구할 방법을 질문하고, 각도와 거리만 잴 수 있다면 어떻게 할지 이야기해요.
- 전개 1: 상황을 직각삼각형으로 그리고, 알고 있는 변과 구하려는 변이 각에 대해 어떤 위치인지 표시하여 사인, 코사인, 탄젠트 중 하나를 고르는 연습을 해요.
- 전개 2: 각도기와 빨대로 만든 측각기로 운동장에서 건물을 올려본각을 재고, 삼각비 표나 계산기를 이용해 높이를 구해요.
- 정리: 모둠별 측정값과 계산 결과를 비교하고, 눈높이를 빠뜨리거나 각을 잘못 잰 경우 결과가 어떻게 달라지는지 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
건물에서 10 m 떨어진 지점에서 건물 꼭대기를 올려본각이 60°이고 측정한 사람의 눈높이가 1.6 m일 때 건물의 높이를 구하는 과정을 서술하시오. (√3=1.73으로 계산) 또 알맞은 삼각비를 고른 이유를 함께 쓰시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 밑변 10 m와 높이의 관계이므로 탄젠트를 골라 10×tan 60°=10√3≈17.3 m를 구하고, 눈높이 1.6 m를 더해 약 18.9 m임을 이유와 함께 정확히 서술함 |
| 중 | 탄젠트를 이용해 17.3 m를 구했으나 눈높이를 더하지 않았거나 삼각비를 고른 이유 설명이 부족함 |
| 하 | 사인이나 코사인을 잘못 선택하거나 변의 위치를 혼동하여 높이를 틀리게 구함 |
세특 기재 예시 예시
빨대와 각도기로 측각기를 만들어 운동장에서 학교 건물의 올려본각을 측정하고 탄젠트를 이용해 건물 높이를 구하는 활동에 참여함. 모둠별 결과가 다르게 나온 원인을 눈높이 누락과 각도 측정 오차에서 찾아 분석함. 알고 있는 변과 구할 변의 위치에 따라 알맞은 삼각비를 고르는 기준을 정리하여 발표함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
올려본각을 이용해 높이를 구할 때 측정한 사람의 눈높이를 더하지 않거나, 주어진 각에 대한 높이와 밑변의 위치를 바꾸어 탄젠트 값을 역수로 쓰는 실수가 많아요. 반드시 그림을 그리고 기준각에 표시한 뒤 마주 보는 변, 이웃한 변을 표시하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘도형과 측정’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘교점, 교선, 두 점 사이의 거리, 중점, 수직이등분선, 꼬인 위치, 교각, 맞꼭지각, 엇각, 동위각, 평각, 직교, 수선의 발, 작도, 대변, 대각, 삼각형의 합동 조건, 내각, 외각, 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 다면체, 각뿔대, 정다면체, 회전체, 회전축, 원뿔대, 증명, 접선, 접점, 접한다, 외심, 외접, 외접원, 내심, 내접, 내접원, 중선, 무게중심, 닮음, 닮음비, 삼각형의 닮음 조건, 피타고라스 정리, 삼각비, 사인, 코사인, 탄젠트, 원주각, AB, AB, AB, , ∠ABC, ⊥, △ABC, ≡, AB, , □ABCD, 뾣, sin , cos , tan ’를 다룬다.
- 다양한 교구나 공학 도구를 이용하여 합동과 닮음의 의미를 이해하게 한다.
- 다각형과 다면체는 그 모양이 볼록인 경우만 다룬다.
- 간단한 입체도형의 단면을 관찰하는 활동과 전개도를 접어 간단한 입체도형을 만드는 활동을 통해 평면도형과 입체도형의 관계를 직관적으로 이해하게 한다.
- 다양한 교구나 공학 도구를 이용하여 도형을 그리거나 만들어 보는 활동을 통해 도형의 성질을 추론하고 토론할 수 있게 한다.
- 도형의 성질을 이해하고 정당화하는 방법은 관찰이나 실험을 통한 확인, 사례나 근거 제시를 통한 설명, 유사성에 근거한 추론, 증명 등이 있으며, 이를 학생 수준에 맞게 활용할 수 있다.
- 도형의 성질을 정당화하는 다양한 방법을 통해 체계적으로 사고하고 타인을 논리적으로 설득하는 태도를 갖게 한다.
- 증명을 할 때, ‘가정’, ‘결론’ 용어는 다루지 않는다.
- 수학사를 통하여 피타고라스 정리, 삼각비에 관심을 가지고 그 유용성을 인식하게 한다.
- 삼각비 사이의 관계는 다루지 않는다.
- 삼각비의 값은 0°에서 90°까지의 각도에 대한 것만 다룬다.
- 주변의 건축물, 문화유산, 예술 작품 등에서 도형의 성질을 찾게 하여 수학에 대한 흥미와 관심을 가질 수 있게 한다.
- 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레의 길이, 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하는 문제는 다루지 않는다.
- 도형의 성질을 이해하고 정당화하는 것을 평가할 때는 증명 과정에서 지나치게 엄밀한 형식 논리 규칙의 이용을 요구하는 문제는 다루지 않는다.
- 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않는다.
- ‘(도형의) 대응’, ‘삼각형의 중점연결정리’, ‘접선의 길이’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.