중학교 수학 · 도형과 측정 · 2022 개정 교육과정
[9수03-11] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[9수03-11] 사각형의 성질을 이해하고 정당화할 수 있다.
성취기준 해설
사각형의 성질은 대각선에 관한 성질을 위주로 다룬다. 여러 가지 사각형의 성질을 통해 사각형 사이의 관계를 설명하게 한다.
쉽게 풀어 보면
평행사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형, 등변사다리꼴 같은 사각형의 성질을 대각선을 중심으로 이해하고 정당화하는 성취기준이에요. 각 사각형의 대각선 성질을 비교하며 사각형 사이의 포함 관계를 설명할 수 있게 하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
사각형의 대각선 성질과 관계
- 평행사변형 ABCD에서 두 대각선의 교점을 O라 할 때, 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분함을 합동인 삼각형을 찾아 설명해 보세요.
- 직사각형, 마름모, 정사각형의 대각선이 가지는 성질을 표로 비교하세요.
- 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하는 사각형은 어떤 사각형인지 쓰세요.
- 평행사변형에 '한 내각이 직각'이라는 조건을 더하면 어떤 사각형이 되는지 이유와 함께 쓰세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 공학 도구로 사각형의 꼭짓점을 움직이며 평행사변형이 직사각형, 마름모, 정사각형으로 바뀌는 순간을 관찰해요.
- 전개 1: 평행사변형에서 엇각과 대변의 길이를 이용해 대각선으로 생긴 삼각형의 합동을 보이고 대각선이 서로를 이등분함을 정당화해요.
- 전개 2: 직사각형은 대각선의 길이가 같고, 마름모는 대각선이 수직으로 만나며, 정사각형은 두 성질을 모두 가진다는 점을 모둠별로 증명하고 표로 정리해요.
- 정리: 사각형 사이의 포함 관계를 벤 다이어그램으로 나타내고, 어떤 조건을 더하면 다른 사각형이 되는지 화살표로 연결해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
평행사변형 ABCD에서 두 대각선 AC와 BD의 길이가 같으면 ABCD는 직사각형임을 정당화하시오. 어떤 두 삼각형이 어떤 합동 조건으로 합동인지 밝히고, 평행사변형의 성질을 어디에 사용했는지 쓰시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | AB=DC, BC는 공통, AC=DB이므로 △ABC≡△DCB(SSS 합동)임을 보여 ∠B=∠C를 얻고, 평행사변형에서 이웃한 두 각의 합이 180°이므로 각각 90°임을 근거와 함께 밝힘 |
| 중 | 두 삼각형의 합동은 보였으나 ∠B+∠C=180°라는 평행사변형의 성질을 사용하는 단계를 빠뜨림 |
| 하 | 직사각형의 대각선 길이가 같다는 성질을 거꾸로 근거로 쓰는 등 결론과 근거를 혼동함 |
세특 기재 예시 예시
여러 가지 사각형의 대각선 성질을 탐구하는 활동에서 평행사변형의 대각선이 서로를 이등분함을 엇각과 ASA 합동으로 증명함. 평행사변형에 대각선의 길이가 같다는 조건을 더하면 직사각형이 됨을 SSS 합동과 이웃한 두 각의 합을 이용해 정당화함. 사각형 사이의 포함 관계를 벤 다이어그램으로 정리하여 정사각형이 직사각형이면서 마름모인 이유를 설명함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
정사각형은 직사각형이 아니라고 생각하는 등 사각형을 겉모양으로만 구분하는 학생이 많아요. 정의와 대각선 성질을 기준으로 판단하게 하고, 어떤 성질의 역이 항상 성립하는 것은 아니라는 점도 반례 그림으로 함께 확인해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘도형과 측정’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘교점, 교선, 두 점 사이의 거리, 중점, 수직이등분선, 꼬인 위치, 교각, 맞꼭지각, 엇각, 동위각, 평각, 직교, 수선의 발, 작도, 대변, 대각, 삼각형의 합동 조건, 내각, 외각, 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 다면체, 각뿔대, 정다면체, 회전체, 회전축, 원뿔대, 증명, 접선, 접점, 접한다, 외심, 외접, 외접원, 내심, 내접, 내접원, 중선, 무게중심, 닮음, 닮음비, 삼각형의 닮음 조건, 피타고라스 정리, 삼각비, 사인, 코사인, 탄젠트, 원주각, AB, AB, AB, , ∠ABC, ⊥, △ABC, ≡, AB, , □ABCD, 뾣, sin , cos , tan ’를 다룬다.
- 다양한 교구나 공학 도구를 이용하여 합동과 닮음의 의미를 이해하게 한다.
- 다각형과 다면체는 그 모양이 볼록인 경우만 다룬다.
- 간단한 입체도형의 단면을 관찰하는 활동과 전개도를 접어 간단한 입체도형을 만드는 활동을 통해 평면도형과 입체도형의 관계를 직관적으로 이해하게 한다.
- 다양한 교구나 공학 도구를 이용하여 도형을 그리거나 만들어 보는 활동을 통해 도형의 성질을 추론하고 토론할 수 있게 한다.
- 도형의 성질을 이해하고 정당화하는 방법은 관찰이나 실험을 통한 확인, 사례나 근거 제시를 통한 설명, 유사성에 근거한 추론, 증명 등이 있으며, 이를 학생 수준에 맞게 활용할 수 있다.
- 도형의 성질을 정당화하는 다양한 방법을 통해 체계적으로 사고하고 타인을 논리적으로 설득하는 태도를 갖게 한다.
- 증명을 할 때, ‘가정’, ‘결론’ 용어는 다루지 않는다.
- 수학사를 통하여 피타고라스 정리, 삼각비에 관심을 가지고 그 유용성을 인식하게 한다.
- 삼각비 사이의 관계는 다루지 않는다.
- 삼각비의 값은 0°에서 90°까지의 각도에 대한 것만 다룬다.
- 주변의 건축물, 문화유산, 예술 작품 등에서 도형의 성질을 찾게 하여 수학에 대한 흥미와 관심을 가질 수 있게 한다.
- 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레의 길이, 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하는 문제는 다루지 않는다.
- 도형의 성질을 이해하고 정당화하는 것을 평가할 때는 증명 과정에서 지나치게 엄밀한 형식 논리 규칙의 이용을 요구하는 문제는 다루지 않는다.
- 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않는다.
- ‘(도형의) 대응’, ‘삼각형의 중점연결정리’, ‘접선의 길이’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.