중학교 수학 · 도형과 측정 · 2022 개정 교육과정
[9수03-15] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[9수03-15] 피타고라스 정리를 이해하고 정당화할 수 있다.
성취기준 해설
피타고라스 정리는 다양한 활동을 통하여 추측하고 정당화할 수 있게 한다. 피타고라스 정리의 역은 직관적으로 이해하게 하고, 이를 이용하여 세 변의 길이가 주어진 삼각형이 직각삼각형인지 판별하게 한다.
쉽게 풀어 보면
직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱이 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다는 피타고라스 정리를 다양한 활동으로 추측하고 정당화하는 성취기준이에요. 정리의 역은 직관적으로 이해하게 하고, 세 변의 길이로 직각삼각형인지 판별하는 데까지 쓰는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
피타고라스 정리 확인하고 활용하기
- 모눈종이에 직각을 낀 두 변이 3칸, 4칸인 직각삼각형을 그리고 세 변 위에 정사각형을 그려 넓이 사이의 관계를 확인해 보세요.
- 직각을 낀 두 변의 길이가 6 cm, 8 cm인 직각삼각형의 빗변의 길이를 구하세요.
- 빗변의 길이가 13 cm, 다른 한 변의 길이가 5 cm인 직각삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구하세요.
- 세 변의 길이가 7, 24, 25인 삼각형과 6, 7, 9인 삼각형이 각각 직각삼각형인지 판별하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 같은 간격으로 매듭을 지어 12칸으로 나눈 고리 모양 끈을 3칸, 4칸, 5칸의 삼각형으로 펼치면 직각이 생기는지 직접 확인해요.
- 전개 1: 모눈종이에 여러 직각삼각형을 그리고 각 변 위 정사각형의 넓이를 세어 표로 정리하며 관계를 추측해요.
- 전개 2: 합동인 직각삼각형 네 개를 큰 정사각형 안에 두 가지 방법으로 배열하여 남는 부분의 넓이를 비교하는 방법으로 정리를 정당화해요.
- 정리: 세 변의 길이가 주어진 삼각형이 직각삼각형인지 판별하고, 가장 긴 변을 빗변으로 놓아야 하는 이유를 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
직각을 낀 두 변의 길이가 a, b이고 빗변의 길이가 c인 합동인 직각삼각형 네 개를 한 변의 길이가 a+b인 정사각형 안에 두 가지 방법으로 배열한 그림을 이용하여 a²+b²=c²이 성립함을 정당화하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 두 배열에서 큰 정사각형의 넓이와 네 직각삼각형의 넓이가 각각 같으므로 남은 부분인 한 변이 c인 정사각형의 넓이와 한 변이 a, b인 두 정사각형의 넓이의 합이 같음을 논리적으로 설명함 |
| 중 | 두 배열의 남은 부분을 비교하는 아이디어는 제시했으나 큰 정사각형과 삼각형의 넓이가 같다는 근거를 명확히 밝히지 못함 |
| 하 | 특정한 수를 넣어 성립함을 확인하는 데 그치거나 그림의 각 부분이 무엇을 뜻하는지 설명하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
모눈종이에 여러 직각삼각형을 그리고 세 변 위 정사각형의 넓이를 비교하여 피타고라스 정리를 스스로 추측함. 합동인 직각삼각형 네 개를 두 가지 방법으로 배열하는 넓이 비교로 정리를 정당화하고 그 과정을 친구들에게 설명함. 세 변의 길이가 주어진 삼각형에서 가장 긴 변을 기준으로 직각삼각형인지 판별하는 방법을 정확히 적용함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
빗변이 아닌 변을 구할 때도 두 변의 제곱을 더하거나, 직각삼각형 판별에서 가장 긴 변이 아닌 변을 빗변으로 놓는 실수가 많아요. 직각의 맞은편 변이 빗변이고 가장 길다는 점을 그림에 먼저 표시하게 하고, 피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립한다는 점도 강조해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘도형과 측정’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘교점, 교선, 두 점 사이의 거리, 중점, 수직이등분선, 꼬인 위치, 교각, 맞꼭지각, 엇각, 동위각, 평각, 직교, 수선의 발, 작도, 대변, 대각, 삼각형의 합동 조건, 내각, 외각, 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 다면체, 각뿔대, 정다면체, 회전체, 회전축, 원뿔대, 증명, 접선, 접점, 접한다, 외심, 외접, 외접원, 내심, 내접, 내접원, 중선, 무게중심, 닮음, 닮음비, 삼각형의 닮음 조건, 피타고라스 정리, 삼각비, 사인, 코사인, 탄젠트, 원주각, AB, AB, AB, , ∠ABC, ⊥, △ABC, ≡, AB, , □ABCD, 뾣, sin , cos , tan ’를 다룬다.
- 다양한 교구나 공학 도구를 이용하여 합동과 닮음의 의미를 이해하게 한다.
- 다각형과 다면체는 그 모양이 볼록인 경우만 다룬다.
- 간단한 입체도형의 단면을 관찰하는 활동과 전개도를 접어 간단한 입체도형을 만드는 활동을 통해 평면도형과 입체도형의 관계를 직관적으로 이해하게 한다.
- 다양한 교구나 공학 도구를 이용하여 도형을 그리거나 만들어 보는 활동을 통해 도형의 성질을 추론하고 토론할 수 있게 한다.
- 도형의 성질을 이해하고 정당화하는 방법은 관찰이나 실험을 통한 확인, 사례나 근거 제시를 통한 설명, 유사성에 근거한 추론, 증명 등이 있으며, 이를 학생 수준에 맞게 활용할 수 있다.
- 도형의 성질을 정당화하는 다양한 방법을 통해 체계적으로 사고하고 타인을 논리적으로 설득하는 태도를 갖게 한다.
- 증명을 할 때, ‘가정’, ‘결론’ 용어는 다루지 않는다.
- 수학사를 통하여 피타고라스 정리, 삼각비에 관심을 가지고 그 유용성을 인식하게 한다.
- 삼각비 사이의 관계는 다루지 않는다.
- 삼각비의 값은 0°에서 90°까지의 각도에 대한 것만 다룬다.
- 주변의 건축물, 문화유산, 예술 작품 등에서 도형의 성질을 찾게 하여 수학에 대한 흥미와 관심을 가질 수 있게 한다.
- 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레의 길이, 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하는 문제는 다루지 않는다.
- 도형의 성질을 이해하고 정당화하는 것을 평가할 때는 증명 과정에서 지나치게 엄밀한 형식 논리 규칙의 이용을 요구하는 문제는 다루지 않는다.
- 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않는다.
- ‘(도형의) 대응’, ‘삼각형의 중점연결정리’, ‘접선의 길이’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.