중학교 수학 · 도형과 측정 · 2022 개정 교육과정
[9수03-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[9수03-05] 다각형의 성질을 이해하고 설명할 수 있다.
성취기준 해설
삼각형의 내각과 외각의 크기, 다각형의 내각과 외각의 크기의 합, 다각형의 대각선의 개수를 구하는 과정을 탐구하여 다각형의 성질을 추측하고 일반화할 수 있게 한다.
쉽게 풀어 보면
삼각형의 내각과 외각, 다각형의 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합, 대각선의 개수를 구하는 과정을 탐구하는 성취기준이에요. 몇 가지 다각형에서 규칙을 찾아 n각형으로 일반화하고, 그 이유를 삼각형으로 나누는 방법 등으로 설명하게 하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
다각형의 각과 대각선 탐구
- 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같음을 설명해 보세요.
- 칠각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 삼각형으로 나누고, 내각의 크기의 합을 구하세요.
- 십각형의 대각선의 개수를 구하고, 그 과정을 n각형으로 일반화하세요.
- 다각형의 외각의 크기의 합이 변의 개수와 관계없이 360°인 이유를 설명해 보세요.
- 한 내각의 크기가 140°인 정다각형은 정몇각형인지 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 종이 삼각형의 세 각을 찢어 한 점에 모아 평각이 되는 것을 확인하고, 외각과 내각의 관계를 추측해요.
- 전개 1: 사각형, 오각형, 육각형을 한 꼭짓점에서 대각선으로 나누어 생기는 삼각형의 개수를 표로 정리하고 내각의 합 180°×(n−2)를 이끌어 내요.
- 전개 2: 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선이 n−3개이고 두 번씩 세어지므로 n(n−3)/2개가 된다는 것을 모둠별로 설명해요.
- 정리: 각 꼭짓점에서 내각과 외각의 합이 180°임을 이용해 외각의 합이 항상 360°임을 정리하고, 정다각형 문제에 적용해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
한 외각의 크기가 30°인 정다각형이 있다. 이 정다각형의 이름, 내각의 크기의 합, 대각선의 개수를 구하는 과정을 서술하시오. 각 값을 구할 때 이용한 다각형의 성질도 함께 쓰시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 외각의 합 360°를 이용해 정십이각형임을 구하고, 내각의 합 180°×10=1800°와 대각선 12×9÷2=54개를 구하며 각 성질을 정확히 밝힘 |
| 중 | 정십이각형은 구했으나 내각의 합이나 대각선의 개수 중 하나를 틀리거나 이용한 성질 설명이 부족함 |
| 하 | 외각과 내각을 혼동하여 변의 개수를 잘못 구하거나 대각선을 중복해서 세어 132개처럼 답함 |
세특 기재 예시 예시
다각형의 내각의 크기의 합을 탐구하는 활동에서 한 꼭짓점에서 그은 대각선으로 나뉘는 삼각형의 개수를 표로 정리하여 180°×(n−2)를 스스로 일반화함. 대각선의 개수를 셀 때 두 번씩 세어지는 이유를 그림으로 설명하여 n(n−3)/2를 이끌어 냄. 외각의 크기의 합이 변의 수와 관계없이 일정하다는 사실을 내각과 외각의 관계로 정당화함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
대각선의 개수를 n(n−3)으로 구해 같은 대각선을 두 번 세는 실수가 많아요. 또 정다각형의 한 내각을 구할 때 외각의 합 360°를 쓰는 편이 간단한데도 내각의 합 공식을 무리하게 쓰다가 계산이 꼬이기도 하니, 두 방법을 비교하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘도형과 측정’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘교점, 교선, 두 점 사이의 거리, 중점, 수직이등분선, 꼬인 위치, 교각, 맞꼭지각, 엇각, 동위각, 평각, 직교, 수선의 발, 작도, 대변, 대각, 삼각형의 합동 조건, 내각, 외각, 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 다면체, 각뿔대, 정다면체, 회전체, 회전축, 원뿔대, 증명, 접선, 접점, 접한다, 외심, 외접, 외접원, 내심, 내접, 내접원, 중선, 무게중심, 닮음, 닮음비, 삼각형의 닮음 조건, 피타고라스 정리, 삼각비, 사인, 코사인, 탄젠트, 원주각, AB, AB, AB, , ∠ABC, ⊥, △ABC, ≡, AB, , □ABCD, 뾣, sin , cos , tan ’를 다룬다.
- 다양한 교구나 공학 도구를 이용하여 합동과 닮음의 의미를 이해하게 한다.
- 다각형과 다면체는 그 모양이 볼록인 경우만 다룬다.
- 간단한 입체도형의 단면을 관찰하는 활동과 전개도를 접어 간단한 입체도형을 만드는 활동을 통해 평면도형과 입체도형의 관계를 직관적으로 이해하게 한다.
- 다양한 교구나 공학 도구를 이용하여 도형을 그리거나 만들어 보는 활동을 통해 도형의 성질을 추론하고 토론할 수 있게 한다.
- 도형의 성질을 이해하고 정당화하는 방법은 관찰이나 실험을 통한 확인, 사례나 근거 제시를 통한 설명, 유사성에 근거한 추론, 증명 등이 있으며, 이를 학생 수준에 맞게 활용할 수 있다.
- 도형의 성질을 정당화하는 다양한 방법을 통해 체계적으로 사고하고 타인을 논리적으로 설득하는 태도를 갖게 한다.
- 증명을 할 때, ‘가정’, ‘결론’ 용어는 다루지 않는다.
- 수학사를 통하여 피타고라스 정리, 삼각비에 관심을 가지고 그 유용성을 인식하게 한다.
- 삼각비 사이의 관계는 다루지 않는다.
- 삼각비의 값은 0°에서 90°까지의 각도에 대한 것만 다룬다.
- 주변의 건축물, 문화유산, 예술 작품 등에서 도형의 성질을 찾게 하여 수학에 대한 흥미와 관심을 가질 수 있게 한다.
- 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레의 길이, 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하는 문제는 다루지 않는다.
- 도형의 성질을 이해하고 정당화하는 것을 평가할 때는 증명 과정에서 지나치게 엄밀한 형식 논리 규칙의 이용을 요구하는 문제는 다루지 않는다.
- 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않는다.
- ‘(도형의) 대응’, ‘삼각형의 중점연결정리’, ‘접선의 길이’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.