중학교 수학 · 도형과 측정 · 2022 개정 교육과정
[9수03-09] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[9수03-09] 이등변삼각형의 성질을 이해하고 정당화할 수 있다.
성취기준 해설
종이접기, 작도, 공학 도구 등을 이용하여 이등변삼각형의 성질을 추측하게 하고, 그 성질을 삼각형의 합동 조건을 이용하여 정당화할 수 있게 한다. 이때, 증명이라는 용어를 도입하고, 그 필요성을 인식하게 한다.
쉽게 풀어 보면
이등변삼각형의 두 밑각의 크기가 같다는 성질 등을 종이접기, 작도, 공학 도구로 추측하고 삼각형의 합동 조건을 이용해 정당화하는 성취기준이에요. 이 단원에서 '증명'이라는 용어를 처음 도입하므로, 관찰로 확인한 것을 논리적으로 보여야 하는 이유를 느끼게 하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
이등변삼각형의 성질 증명하기
- 이등변삼각형 모양의 종이를 꼭지각이 반으로 나뉘도록 접었을 때 겹쳐지는 부분을 관찰하고, 두 밑각에 대해 알 수 있는 점을 쓰세요.
- AB=AC인 △ABC에서 ∠A의 이등분선과 변 BC의 교점을 D라 할 때, △ABD≡△ACD임을 합동 조건을 밝혀 설명하세요.
- AB=AC이고 ∠A=40°인 △ABC에서 ∠B의 크기를 구하세요.
- 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분하는 이유를 설명해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 이등변삼각형 종이를 반으로 접어 두 밑각이 정확히 겹치는 것을 확인하고, 모든 이등변삼각형에서도 그런지 질문을 던져요.
- 전개 1: 공학 도구로 이등변삼각형의 모양을 바꾸어 가며 두 밑각의 크기를 재고 성질을 추측해요.
- 전개 2: 꼭지각의 이등분선을 보조선으로 긋고 SAS 합동을 이용해 두 밑각이 같음을 보이는 과정을 함께 써 보며 증명의 뜻을 정리해요.
- 정리: 몇 개의 예를 재어 확인하는 것과 증명의 차이를 이야기하고, 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분한다는 성질도 증명해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
AB=AC인 이등변삼각형 ABC에서 ∠B=∠C임을 증명하시오. 어떤 보조선을 그었는지, 어떤 두 삼각형이 어떤 합동 조건으로 합동인지 밝히고, 여러 삼각형의 각을 재어 확인하는 것만으로는 부족한 이유도 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | ∠A의 이등분선 AD를 긋고 AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD는 공통이므로 △ABD≡△ACD(SAS 합동)임을 보여 ∠B=∠C를 이끌어 내며, 측정은 일부 예만 확인할 뿐 모든 경우를 보장하지 못한다는 증명의 필요성을 설명함 |
| 중 | 보조선과 합동 조건을 바르게 사용했으나 근거 일부가 빠졌거나 증명의 필요성 설명이 부족함 |
| 하 | 보조선 없이 그림으로 보아 같다고 하거나, 증명하려는 결론 ∠B=∠C를 근거로 사용함 |
세특 기재 예시 예시
이등변삼각형의 성질을 탐구하는 활동에서 종이접기와 공학 도구로 두 밑각의 크기가 같다는 사실을 추측하고 꼭지각의 이등분선을 보조선으로 그어 SAS 합동으로 증명함. 여러 삼각형의 각을 재는 것만으로는 모든 경우를 보장할 수 없다는 점을 들어 증명이 필요한 이유를 자기 말로 설명함. 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분한다는 성질도 합동을 이용해 이어서 정당화함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
증명할 때 보여야 할 ∠B=∠C를 근거로 먼저 사용하거나, 그림이 이등변삼각형처럼 보인다는 이유로 성질을 받아들이는 경우가 많아요. 주어진 조건과 보여야 할 내용을 구분해 적게 하고, 각 줄의 근거를 괄호 안에 쓰게 하면 순환 논리를 줄일 수 있어요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘도형과 측정’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘교점, 교선, 두 점 사이의 거리, 중점, 수직이등분선, 꼬인 위치, 교각, 맞꼭지각, 엇각, 동위각, 평각, 직교, 수선의 발, 작도, 대변, 대각, 삼각형의 합동 조건, 내각, 외각, 부채꼴, 중심각, 호, 현, 활꼴, 할선, 다면체, 각뿔대, 정다면체, 회전체, 회전축, 원뿔대, 증명, 접선, 접점, 접한다, 외심, 외접, 외접원, 내심, 내접, 내접원, 중선, 무게중심, 닮음, 닮음비, 삼각형의 닮음 조건, 피타고라스 정리, 삼각비, 사인, 코사인, 탄젠트, 원주각, AB, AB, AB, , ∠ABC, ⊥, △ABC, ≡, AB, , □ABCD, 뾣, sin , cos , tan ’를 다룬다.
- 다양한 교구나 공학 도구를 이용하여 합동과 닮음의 의미를 이해하게 한다.
- 다각형과 다면체는 그 모양이 볼록인 경우만 다룬다.
- 간단한 입체도형의 단면을 관찰하는 활동과 전개도를 접어 간단한 입체도형을 만드는 활동을 통해 평면도형과 입체도형의 관계를 직관적으로 이해하게 한다.
- 다양한 교구나 공학 도구를 이용하여 도형을 그리거나 만들어 보는 활동을 통해 도형의 성질을 추론하고 토론할 수 있게 한다.
- 도형의 성질을 이해하고 정당화하는 방법은 관찰이나 실험을 통한 확인, 사례나 근거 제시를 통한 설명, 유사성에 근거한 추론, 증명 등이 있으며, 이를 학생 수준에 맞게 활용할 수 있다.
- 도형의 성질을 정당화하는 다양한 방법을 통해 체계적으로 사고하고 타인을 논리적으로 설득하는 태도를 갖게 한다.
- 증명을 할 때, ‘가정’, ‘결론’ 용어는 다루지 않는다.
- 수학사를 통하여 피타고라스 정리, 삼각비에 관심을 가지고 그 유용성을 인식하게 한다.
- 삼각비 사이의 관계는 다루지 않는다.
- 삼각비의 값은 0°에서 90°까지의 각도에 대한 것만 다룬다.
- 주변의 건축물, 문화유산, 예술 작품 등에서 도형의 성질을 찾게 하여 수학에 대한 흥미와 관심을 가질 수 있게 한다.
- 복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레의 길이, 입체도형의 겉넓이와 부피를 구하는 문제는 다루지 않는다.
- 도형의 성질을 이해하고 정당화하는 것을 평가할 때는 증명 과정에서 지나치게 엄밀한 형식 논리 규칙의 이용을 요구하는 문제는 다루지 않는다.
- 원과 비례에 관한 성질은 다루지 않는다.
- ‘(도형의) 대응’, ‘삼각형의 중점연결정리’, ‘접선의 길이’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.