고등학교 기본수학2 · 도형의 방정식 · 2022 개정 교육과정
[10기수2-01-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10기수2-01-05] 좌표평면에서 원과 직선의 위치 관계를 판단할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
좌표평면에서 원과 직선이 두 점에서 만나는지, 접하는지, 만나지 않는지 판단하는 성취기준이에요. 직선의 식을 원의 방정식에 대입해 얻은 이차방정식의 판별식 부호와 교점의 개수를 연결하고, 좌표축에 평행한 직선에서는 중심까지의 거리와 반지름을 비교해 판단해요.
학습지 문항 예시 예시
판별식으로 원과 직선의 위치 판단하기
- 원 x²+y²=25와 직선 y=3의 교점의 좌표를 구하세요.
- 원 x²+y²=4와 직선 x=2, 직선 x=3은 각각 몇 개의 점에서 만나는지 그림을 그려 판단하세요.
- 원 x²+y²=5와 직선 y=x+1의 교점의 개수를 판별식으로 판단하고, 교점의 좌표를 구하세요.
- 원 x²+y²=2와 직선 y=x+k가 접할 때 k의 값을 모두 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 원을 그린 투명 필름 위에 자를 여러 위치로 대 보며 원과 직선이 두 점, 한 점에서 만나거나 만나지 않는 경우를 관찰해요.
- 전개 1: x=2, y=3처럼 좌표축에 평행한 직선과 원 x²+y²=r²의 위치 관계를 중심에서 직선까지의 거리와 반지름을 비교해 판단해요.
- 전개 2: 직선의 식을 원의 방정식에 대입해 만든 이차방정식의 판별식 부호로 교점의 개수를 판단하고, 실제 교점을 구해 그림과 맞춰 봐요.
- 정리: 판별식이 양수, 0, 음수일 때를 두 점에서 만남, 접함, 만나지 않음으로 표에 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
원 x²+y²=10과 직선 y=3x+k에 대하여 k=0일 때 교점의 좌표를 구하시오. 그리고 원과 직선이 접하도록 하는 k의 값을 판별식을 이용해 구하는 과정을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | k=0일 때 교점 (1, 3), (−1, −3)을 구하고, 10x²+6kx+k²−10=0의 판별식을 0으로 놓아 k=10 또는 k=−10을 바르게 구함 |
| 중 | 교점은 바르게 구했으나 판별식 계산에서 실수하거나 k의 값을 한 개만 구함 |
| 하 | 직선의 식을 원의 방정식에 대입하지 못하거나 판별식과 위치 관계를 연결하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
원과 직선의 위치 관계 수업에서 직선의 식을 원의 방정식에 대입해 얻은 이차방정식의 판별식으로 교점의 개수를 판단하고, 실제 교점을 구해 그림과 비교하여 판단이 맞는지 확인함. 접하는 경우의 k값이 두 개 나오는 이유를 원의 양쪽에서 접하는 두 직선으로 설명함.
이 예시는 146자, 나이스 기준 358Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
판별식이 0이면 직선이 원과 만나지 않는다고 생각하거나, 대입 후 정리한 이차방정식의 계수를 잘못 옮겨 판별식을 틀리는 경우가 많아요. 판별식의 결과를 반드시 그림과 함께 해석하게 하고, 기울기가 같은 접선이 원의 양쪽에 하나씩 생길 수 있다는 점을 그래프로 보여 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘도형의 방정식’ 영역의 교수·학습은 ‘피타고라스 정리, 좌표평면, 평행이동, 직선의 방정식, 원점, 좌표축, x축, y축, 좌표평면’의 개념을 기초로 한다.
- 직선의 방정식을 다룰 때 중학교에서 학습한 일차방정식, 일차함수의 그래프와 연계하여 도입할 수 있다.
- 도형의 방정식 학습을 통해 대수와 기하를 연결하는 사고의 전환으로 수학에 대한 흥미와 관심을 갖도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 직선의 방정식, 원의 방정식, 도형의 이동을 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 도형의 이동을 실생활에 적용해 보는 활동을 통해 그 유용성을 인식하게 한다.
- 도형의 방정식은 도형을 좌표평면에서 다룰 수 있음을 이해하는 수준에서 지도하고, 계산이 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 좌표축의 평행이동은 다루지 않는다.
- ‘원의 방정식’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.