고등학교 대수 · 지수함수와 로그함수 · 2022 개정 교육과정
[12대수01-06] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12대수01-06] 지수함수와 로그함수의 뜻을 알고, 이를 설명할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
y = aˣ (a > 0, a ≠ 1)이 모든 실수에서 정의되는 함수임을 알고, 그 역함수로서 y = logₐ x가 정의된다는 것을 설명하는 성취기준이에요. 밑의 조건, 정의역과 치역이 왜 그렇게 정해지는지를 함수의 관점에서 말할 수 있는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
지수함수와 로그함수는 어떤 함수일까
- y = 1ˣ은 지수함수에 포함하지 않아요. 이 함수의 그래프 모양을 그려 보고 제외하는 까닭을 역함수와 관련지어 쓰세요.
- 세균 100마리가 1시간마다 2배로 늘어날 때 x시간 후의 수 y를 x에 대한 식으로 나타내고, 거꾸로 y마리가 되는 데 걸리는 시간을 로그로 표현해 보세요.
- 지수함수 y = 3ˣ의 정의역과 치역을 쓰고, 이를 바탕으로 로그함수 y = log₃ x의 정의역과 치역을 추론해 보세요.
- f(x) = 2ˣ일 때 f(a + b) = f(a)f(b)가 성립함을 확인하고, g(x) = log₂ x에서는 어떤 비슷한 관계가 성립하는지 찾아보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 종이를 반으로 접을 때마다 두께가 2배가 되는 상황에서 접은 횟수와 두께 사이의 대응을 표로 만들어요.
- 전개 1: 접은 횟수를 실수 전체로 넓혀 y = 2ˣ를 함수로 보고, 밑 a가 1이거나 음수이면 어떤 문제가 생기는지 모둠별로 토론해요.
- 전개 2: 두께에서 접은 횟수를 거꾸로 구하는 대응을 생각하며, 지수함수가 일대일대응이므로 역함수 y = logₐ x가 존재함을 확인해요.
- 정리: 지수함수와 로그함수의 정의역, 치역, 밑의 조건을 비교표로 정리하고 서로 역함수라는 관계를 문장으로 써 봐요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
지수함수 y = aˣ에서 밑 a에 a > 0, a ≠ 1이라는 조건을 두는 이유와, 이 조건 아래에서 로그함수 y = logₐ x를 정의할 수 있는 이유를 정의역과 치역을 포함하여 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | a ≤ 0이면 실수 x에 대해 값이 정해지지 않는 경우가 있고 a = 1이면 상수함수가 되어 역함수가 없음을 밝히며, 일대일대응인 y = aˣ의 역함수로 정의역이 양의 실수 전체인 로그함수가 정의됨을 설명함 |
| 중 | 밑의 조건 중 일부만 설명하거나, 역함수 관계는 언급했으나 정의역과 치역이 서로 바뀐다는 점을 명확히 제시하지 못함 |
| 하 | 밑의 조건을 그대로 옮겨 쓰기만 하고 그 이유나 로그함수와의 관계를 설명하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
지수함수와 로그함수의 뜻을 배우는 시간에 종이 접기 상황을 y = 2ˣ로 모델링하고, 밑이 1이면 상수함수가 되어 역함수를 가질 수 없다는 점을 근거로 밑의 조건을 설명함. 지수함수의 정의역과 치역을 바꾸어 로그함수의 정의역이 양의 실수 전체임을 추론함. 세균 증식 상황에서 걸리는 시간을 로그함수로 표현하며 두 함수가 서로 거꾸로 대응하는 관계임을 명확히 이해하고 있음.
이 예시는 208자, 나이스 기준 508Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
y = logₐ x에서 x가 0이나 음수여도 값이 있다고 생각하는 학생이 많아요. 로그함수는 지수함수의 역함수이므로 정의역이 지수함수의 치역, 곧 양의 실수 전체라는 점을 대응표로 확인하게 하고, 2ˣ = −1을 만족하는 실수 x가 없다는 것과 연결해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 수를 표현하는 과정에서 지수나 로그를 이용할 때 편리함을 인식하게 한다.
- 지수와 로그 및 지수함수와 로그함수를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 지수함수와 로그함수로 표현하고 문제를 해결해 봄으로써 유용성을 인식하게 한다.
- 지수와 로그 및 지수함수와 로그함수를 다룰 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.