고등학교 대수 · 지수함수와 로그함수 · 2022 개정 교육과정
[12대수01-02] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12대수01-02] 지수가 유리수, 실수까지 확장될 수 있음을 이해하고, 이를 설명할 수 있다.
성취기준 해설
지수가 유리수 및 실수인 경우는 밑이 양수인 조건이 필요함을 이해하게 한다. 지수가 실수인 경우는 직관적으로 다룬다.
쉽게 풀어 보면
a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ처럼 지수를 0과 음의 정수, 유리수로 넓히고 실수 지수까지 직관적으로 확장하는 과정을 이해하는 성취기준이에요. 지수법칙이 계속 성립하도록 정의를 정한다는 점과, 유리수·실수 지수에서는 밑이 양수여야 한다는 조건을 설명할 수 있는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
지수를 넓혀 가는 이유
- 2³ ÷ 2³을 두 가지 방법으로 계산해 보고, 2⁰ = 1로 정하는 것이 자연스러운 까닭을 설명해 보세요.
- 8^(2/3)과 27^(−1/3)의 값을 거듭제곱근으로 바꾸어 구해 보세요.
- (−8)^(1/3)을 −2로 보고 (−8)^(2/6) = ⁶√((−8)²)으로 바꾸면 어떤 모순이 생기는지 확인하고, 밑을 양수로 제한하는 까닭을 쓰세요.
- 2^1.4, 2^1.41, 2^1.414, …의 값이 어떤 값에 가까워지는지 계산기로 조사하고, 2^√2의 뜻을 설명해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 거듭제곱을 '같은 수를 여러 번 곱한 것'으로만 보면 2⁰이나 2^(1/2)은 뜻이 없다는 점을 질문으로 던져요.
- 전개 1: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ이 계속 성립하도록 a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ로 정의하는 과정을 모둠별로 추론해요.
- 전개 2: (a^(1/n))ⁿ = a가 되어야 한다는 요구로부터 a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)를 이끌고, 밑이 음수이면 생기는 모순 사례를 함께 살펴봐요.
- 정리: √2에 가까워지는 유리수를 지수로 한 값들이 한 값에 다가가는 모습을 계산기로 확인하며 실수 지수의 뜻을 직관적으로 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
지수가 유리수인 거듭제곱 a^(m/n)을 정의할 때 밑 a를 양수로 제한하는 이유를 (−8)^(1/3)과 (−8)^(2/6)을 비교하는 예를 들어 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 두 식의 지수가 같은 유리수인데도 각각 −2와 2라는 다른 값이 나옴을 계산으로 보이고, 값이 하나로 정해지고 지수법칙이 성립하려면 밑이 양수여야 함을 설명함 |
| 중 | 모순이 생긴다는 점은 계산했으나 이것이 밑을 양수로 정하는 이유와 어떻게 연결되는지 설명이 불충분함 |
| 하 | 밑이 양수여야 한다는 결론만 쓰고 근거가 되는 예나 계산을 제시하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
지수의 확장 단원에서 2⁰과 2⁻³의 값을 지수법칙이 유지되어야 한다는 조건으로부터 추론하여 발표함. (−8)^(1/3)과 (−8)^(2/6)이 서로 다른 값을 가지는 사례를 스스로 찾아 유리수 지수에서 밑을 양수로 제한하는 까닭을 논리적으로 설명함. 계산기로 2^1.4, 2^1.41, 2^1.414의 값을 비교하여 실수 지수의 의미를 직관적으로 이해하는 모습을 보임.
이 예시는 207자, 나이스 기준 453Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
a⁻²를 −a²로, 또는 a^(1/2)을 a/2로 읽는 학생이 많아요. 음의 지수는 역수를, 분수 지수는 거듭제곱근을 뜻한다는 점을 2⁻² = 1/4, 9^(1/2) = 3처럼 구체적인 수로 계산해 비교하게 하면 오류가 빨리 줄어요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 수를 표현하는 과정에서 지수나 로그를 이용할 때 편리함을 인식하게 한다.
- 지수와 로그 및 지수함수와 로그함수를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 지수함수와 로그함수로 표현하고 문제를 해결해 봄으로써 유용성을 인식하게 한다.
- 지수와 로그 및 지수함수와 로그함수를 다룰 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.