중학교 수학 · 변화와 관계 · 2022 개정 교육과정
[9수02-22] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[9수02-22] 이차함수의 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 설명할 수 있다.
성취기준 해설
이차함수 에서 최댓값과 최솟값은 의 범위가 실수 전체인 경우만 다룬다.
쉽게 풀어 보면
이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프를 그리고 꼭짓점, 축, 볼록한 방향, 최댓값과 최솟값 같은 성질을 설명하는 성취기준이에요. y=a(x−p)²+q 꼴로 고쳐 y=ax²의 그래프를 평행이동한 것으로 보는 관점이 핵심이고, 최댓값과 최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만 다뤄요.
학습지 문항 예시 예시
이차함수의 그래프와 성질
- y=x², y=2x², y=−x²의 그래프를 같은 좌표평면에 그리고, a의 값에 따라 그래프가 어떻게 달라지는지 쓰세요.
- y=2(x−1)²+3의 그래프의 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식을 쓰세요.
- y=x²−4x+1을 y=a(x−p)²+q 꼴로 고치고 꼭짓점의 좌표를 구하세요.
- y=−x²+6x−5의 최댓값과 그때의 x의 값을 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 공학 도구에서 y=ax²의 a 값을 움직여 그래프의 폭과 볼록한 방향이 바뀌는 모습을 관찰해요.
- 전개 1: y=a(x−p)²+q에서 p와 q를 바꾸며 그래프가 x축, y축 방향으로 얼마나 평행이동하는지 확인하고 꼭짓점 (p, q)와 축 x=p를 정리해요.
- 전개 2: y=ax²+bx+c를 완전제곱식을 이용해 y=a(x−p)²+q 꼴로 고치고, 꼭짓점, 축, y절편을 찾아 그래프를 그려요.
- 정리: a의 부호에 따라 꼭짓점에서 최솟값 또는 최댓값을 가진다는 점을 그래프로 설명하고, 서로 문제를 내어 확인해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
이차함수 y=2x²−8x+5의 그래프를 그리기 위해 필요한 꼭짓점의 좌표, 축의 방정식, y절편, 볼록한 방향을 구하는 과정을 서술하시오. 또 이 함수의 최댓값 또는 최솟값을 구하고 그 이유를 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | y=2(x−2)²−3으로 바르게 고쳐 꼭짓점 (2, −3), 축 x=2, y절편 5, 아래로 볼록을 구하고, a>0이므로 x=2에서 최솟값 −3을 가지며 최댓값은 없음을 설명함 |
| 중 | 꼭짓점과 축은 구했으나 y절편이나 볼록한 방향 중 하나를 빠뜨리거나, 최솟값의 이유 설명이 부족함 |
| 하 | 완전제곱식으로 고칠 때 2로 묶은 뒤 상수항을 잘못 처리하여 꼭짓점을 (2, 1)처럼 틀리게 구함 |
세특 기재 예시 예시
공학 도구로 이차함수의 계수를 바꾸어 가며 그래프의 변화를 관찰하는 활동에서 a의 절댓값이 클수록 폭이 좁아지고 부호에 따라 볼록한 방향이 바뀜을 정리함. y=ax²+bx+c를 완전제곱식으로 고쳐 꼭짓점과 축을 구하고 y절편과 함께 그래프의 개형을 정확히 그림. 꼭짓점의 y좌표가 최솟값 또는 최댓값이 되는 이유를 그래프로 설명함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
y=(x−2)²의 그래프를 x축 방향으로 −2만큼 평행이동한 것으로 착각하는 학생이 많아요. x=2를 넣었을 때 y가 0이 되는 점을 직접 찍어 보게 하면 도움이 돼요. 완전제곱식을 만들 때 앞의 계수로 묶은 뒤 더하고 뺀 수에 계수를 곱하지 않는 실수도 자주 나와요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘변화와 관계’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차 식, 동류항, 등식, 방정식, 미지수, 해, 근, 항등식, 이항, 일차방정식, 전개, 변수, 좌표, 순서 쌍, 좌표, 좌표, 원점, 좌표축, 축, 축, 좌표평면, 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제 4사분면, 그래프, 정비례, 반비례, 부등식, 일차부등식, 연립방정식, 함수, 함숫값, 일차함수, 기울기, 절편, 절편, 평행이동, 직선의 방정식, 인수, 인수분해, 완전제곱식, 이차방정식, 중근, 근의 공식, 이차함수, 포물선, 축, 꼭짓점, 최댓값, 최솟값, , ’를 다룬다.
- 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점에 대한 탐색을 통해 문자의 특징을 이해하고, 자신의 삶 속에서 문자의 유용성을 인식하게 한다.
- 수에 대한 사칙연산과 소인수분해가 다항식으로 확장될 수 있음을 인식하게 한다.
- 방정식과 부등식, 함수는 다양한 상황을 통해 도입하고, 그 필요성을 인식하게 한다.
- 방정식과 부등식은 여러 가지 방법으로 풀어 보면서 더 나은 풀이 방법으로 해를 찾게 한다. 구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인하는 과정을 통해 타당한 근거에 따라 자신의 의견을 논리적으로 설명하는 태도를 갖게 한다.
- 다양한 상황을 일상 언어, 표, 그래프, 식으로 나타내고 이들 사이의 상호 변환 활동을 하게 한다.
- 함수의 개념은 다양한 상황에서 한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사 이의 대응 관계를 이용하여 도입한다.
- 다양한 상황을 이용하여 일차함수와 이차함수의 의미를 다룬다.
- 공학 도구를 이용하여 함수의 그래프를 그리거나 함수의 그래프의 성질을 탐구하게 한다.
- 이차방정식은 해가 실수인 경우만 다룬다.
- 이차방정식의 근과 계수와의 관계는 다루지 않는다.
- 실생활이나 사회 및 자연 현상과 관련된 문제를 해결할 때 수학적 모델링을 적용하고 도전 적으로 문제를 해결할 수 있게 한다. 이때, 환경 및 기후변화 등과 관련된 다양한 문제 상 황을 통해 생태전환에 관심을 갖게 한다.
- 방정식, 부등식, 함수에 대한 지나치게 복잡한 활용 문제는 다루지 않는다.
- ‘식의 값’, ‘좌변’, ‘우변’, ‘양변’, ‘이차식’, ‘전개식’, ‘연립일차방정식’, ‘소거’, ‘가감법’, ‘대 입법’, ‘함수의 그래프’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.