중학교 수학 · 변화와 관계 · 2022 개정 교육과정
[9수02-19] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해를 할 수 있다.
성취기준 해설
다항식의 곱셈과 다항식의 인수분해의 역관계를 이해하고, 이와 유사한 관계를 찾아보는 활동을 하게 한다. 다항식의 곱셈과 인수분해는 다음의 경우를 다룬다.
쉽게 풀어 보면
곱셈 공식으로 다항식을 전개하고, 거꾸로 다항식을 인수의 곱으로 나타내는 인수분해를 하는 성취기준이에요. 전개와 인수분해가 서로 반대 과정이라는 점을 수의 곱셈과 소인수분해의 관계와 비교하며 이해하게 하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
곱셈 공식과 인수분해
- (x+3)²과 (x−3)(x+3)을 각각 전개하세요.
- (2x+1)(x−4)를 전개하세요.
- x²−5x+6을 인수분해하고, 결과를 전개하여 원래 식과 같은지 확인하세요.
- 4x²−25를 인수분해하세요.
- 102×98을 곱셈 공식을 이용하여 계산하고 어떤 공식을 썼는지 쓰세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 한 변이 a+b인 정사각형 종이를 네 조각으로 잘라 넓이를 비교하며 (a+b)²이 a²+b²과 다르다는 것을 눈으로 확인해요.
- 전개 1: (a+b)², (a−b)², (a+b)(a−b), (x+a)(x+b), (ax+b)(cx+d)의 곱셈 공식을 분배법칙으로 이끌어 내고 넓이 그림과 연결해요.
- 전개 2: 전개한 결과를 거꾸로 거슬러 올라가는 인수분해를 하고, 공통인 인수를 먼저 묶은 뒤 공식을 적용하는 순서를 연습해요.
- 정리: 12=2²×3처럼 수를 소인수의 곱으로 나타내는 것과 다항식을 인수의 곱으로 나타내는 것의 닮은 점을 모둠별로 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
3x²+5x−2를 인수분해하는 과정을 서술하고, 그 결과를 전개하여 확인하시오. 또 다항식의 곱셈과 인수분해가 어떤 관계인지 수의 곱셈과 소인수분해의 관계에 빗대어 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 곱이 3인 수와 곱이 −2인 수의 조합을 찾아 (3x−1)(x+2)로 인수분해하고 전개하여 3x²+5x−2가 됨을 확인하며, 두 과정이 서로 거꾸로인 관계임을 소인수분해에 빗대어 명확히 설명함 |
| 중 | 인수분해는 바르게 하였으나 확인 과정이나 소인수분해와의 비교 설명이 부족함 |
| 하 | (3x+1)(x−2)처럼 부호나 계수 배치를 잘못하여 전개 결과가 원래 식과 다르며 두 과정의 관계를 설명하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
곱셈 공식을 넓이 모델로 탐구하는 활동에서 정사각형 종이를 잘라 붙여 (a+b)²의 전개식에 2ab가 생기는 이유를 시각적으로 보임. 인수분해한 결과를 반드시 전개해 검산하는 습관을 바탕으로 이차식의 인수분해에서 부호 실수를 스스로 바로잡음. 102×98 같은 수의 계산에 곱셈 공식을 적용하는 예를 찾아 학급에 소개함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
(a+b)²을 a²+b²으로 전개하는 실수가 가장 흔해요. a=2, b=3을 넣어 25와 13을 비교하게 하면 바로 깨달아요. 인수분해에서는 공통인 인수를 먼저 묶지 않고 공식부터 적용해 끝까지 인수분해하지 못하는 경우도 많으니 마지막에 더 묶을 인수가 있는지 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘변화와 관계’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘대입, 다항식, 항, 단항식, 상수항, 계수, 차수, 일차 식, 동류항, 등식, 방정식, 미지수, 해, 근, 항등식, 이항, 일차방정식, 전개, 변수, 좌표, 순서 쌍, 좌표, 좌표, 원점, 좌표축, 축, 축, 좌표평면, 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제 4사분면, 그래프, 정비례, 반비례, 부등식, 일차부등식, 연립방정식, 함수, 함숫값, 일차함수, 기울기, 절편, 절편, 평행이동, 직선의 방정식, 인수, 인수분해, 완전제곱식, 이차방정식, 중근, 근의 공식, 이차함수, 포물선, 축, 꼭짓점, 최댓값, 최솟값, , ’를 다룬다.
- 문자와 수, 문자와 일상 언어의 공통점과 차이점에 대한 탐색을 통해 문자의 특징을 이해하고, 자신의 삶 속에서 문자의 유용성을 인식하게 한다.
- 수에 대한 사칙연산과 소인수분해가 다항식으로 확장될 수 있음을 인식하게 한다.
- 방정식과 부등식, 함수는 다양한 상황을 통해 도입하고, 그 필요성을 인식하게 한다.
- 방정식과 부등식은 여러 가지 방법으로 풀어 보면서 더 나은 풀이 방법으로 해를 찾게 한다. 구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인하는 과정을 통해 타당한 근거에 따라 자신의 의견을 논리적으로 설명하는 태도를 갖게 한다.
- 다양한 상황을 일상 언어, 표, 그래프, 식으로 나타내고 이들 사이의 상호 변환 활동을 하게 한다.
- 함수의 개념은 다양한 상황에서 한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사 이의 대응 관계를 이용하여 도입한다.
- 다양한 상황을 이용하여 일차함수와 이차함수의 의미를 다룬다.
- 공학 도구를 이용하여 함수의 그래프를 그리거나 함수의 그래프의 성질을 탐구하게 한다.
- 이차방정식은 해가 실수인 경우만 다룬다.
- 이차방정식의 근과 계수와의 관계는 다루지 않는다.
- 실생활이나 사회 및 자연 현상과 관련된 문제를 해결할 때 수학적 모델링을 적용하고 도전 적으로 문제를 해결할 수 있게 한다. 이때, 환경 및 기후변화 등과 관련된 다양한 문제 상 황을 통해 생태전환에 관심을 갖게 한다.
- 방정식, 부등식, 함수에 대한 지나치게 복잡한 활용 문제는 다루지 않는다.
- ‘식의 값’, ‘좌변’, ‘우변’, ‘양변’, ‘이차식’, ‘전개식’, ‘연립일차방정식’, ‘소거’, ‘가감법’, ‘대 입법’, ‘함수의 그래프’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.