고등학교 확률과 통계 · 통계 · 2022 개정 교육과정
[12확통03-06] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12확통03-06] 표본평균과 모평균, 표본비율과 모비율의 관계를 이해하고 설명할 수 있다.
성취기준 해설
표본평균 및 표본비율은 추출한 표본에 따라 다른 값을 가질 수 있는 확률변수임을 알게 하고, 모평균 및 모비율의 추정에 관한 수학적 원리를 이해하게 한다. 모평균 추정은 모집단의 분포가 정규분포인 경우만 다루고, 모비율의 추정은 표본의 크기가 큰 경우만 다룬다.
쉽게 풀어 보면
표본평균 X̄와 표본비율 p̂이 표본에 따라 달라지는 확률변수임을 이해하고, E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n, E(p̂) = p, V(p̂) = pq/n 같은 관계로 모평균과 모비율 추정의 원리를 설명하는 성취기준이에요. 표본이 커질수록 추정값이 모수 주변에 모이는 이유를 이해하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
표본평균과 표본비율의 분포
- 모집단이 1, 2, 3을 각각 확률 1/3로 갖는 분포일 때 크기 2인 표본을 복원추출하여 X̄의 확률분포를 구하고 E(X̄)가 모평균과 같은지 확인하세요.
- 앞 문항에서 V(X̄)를 구하여 모분산의 1/2배임을 확인하세요.
- 모집단이 정규분포 N(100, 20²)을 따를 때 크기 16인 표본의 표본평균 X̄가 따르는 분포를 쓰고 P(X̄ ≥ 110)을 구하세요. (단, P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.4772)
- 모비율이 0.4인 모집단에서 크기 600인 표본을 뽑을 때 표본비율 p̂의 평균과 표준편차를 구하고 P(0.38 ≤ p̂ ≤ 0.42)를 근사적으로 구하세요. (단, P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0.3413)
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 같은 반에서 여러 모둠이 각자 5명씩 뽑아 평균 키를 구하면 모둠마다 값이 다르게 나오는 상황을 보여 주며 표본평균의 변동성을 느끼게 해요.
- 전개 1: 작은 모집단에서 가능한 모든 표본을 나열해 X̄의 분포를 만들고, 그 평균과 분산을 모평균, 모분산과 비교해요.
- 전개 2: 표본 크기를 4배로 늘리면 X̄의 표준편차가 절반이 됨을 σ/√n으로 확인하고 공학 도구 모의실험 결과와 대조해요.
- 정리: 표본비율도 같은 원리로 평균 p, 분산 pq/n을 가짐을 정리하고, 이것이 모평균과 모비율 추정의 근거가 됨을 이야기해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
모평균이 m, 모표준편차가 σ인 정규분포에서 크기 n인 표본을 뽑을 때, 표본평균 X̄의 평균과 표준편차를 쓰고 표본의 크기를 25에서 100으로 늘리면 X̄의 분포가 어떻게 달라지는지 추정의 정확도와 연결하여 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | E(X̄) = m, σ(X̄) = σ/√n을 쓰고, n이 25에서 100으로 4배 늘면 표준편차가 σ/5에서 σ/10으로 절반이 되어 X̄가 m 근처에 더 모이므로 추정이 정확해짐을 설명함 |
| 중 | X̄의 평균과 표준편차 공식은 바르게 제시했으나 표본 크기 변화에 따른 구체적인 값의 비교나 추정과의 연결이 부족함 |
| 하 | X̄의 표준편차를 σ나 σ/n으로 쓰는 등 표본평균의 분포를 모집단의 분포와 구별하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
표본평균의 분포 학습에서 1, 2, 3으로 이루어진 모집단의 크기 2인 표본 아홉 가지를 모두 나열하여 X̄의 평균이 모평균 2와 같고 분산이 모분산의 절반임을 직접 확인함. 공학 도구로 표본 크기를 바꾸며 표본평균을 반복 생성하는 모의실험을 수행하고 퍼짐이 σ/√n에 따라 줄어드는 현상을 그래프로 제시함. 표본비율에도 같은 원리가 적용됨을 설명함.
이 예시는 196자, 나이스 기준 470Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
표본평균 X̄를 한 번 구하면 고정된 값이라고 생각해 확률변수로 받아들이기 어려워하는 학생이 많고, X̄의 표준편차를 σ/n으로 쓰는 실수도 잦아요. 같은 모집단에서 표본을 여러 번 뽑는 모의실험으로 X̄가 매번 달라짐을 보이고, 분산이 σ²/n이므로 표준편차는 σ/√n이라는 연결을 확인시켜 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 이항분포의 평균과 분산을 구하는 식을 증명하는 문제는 다루지 않는다.
- 모평균 및 모비율의 추정을 지도할 때, 복잡한 신뢰구간의 계산은 다루지 않는다.
- 불확실성의 해석에 대한 통계의 유용성을 인식하고 합리적인 판단을 추구함으로써 민주 시 민으로서의 소양을 기를 수 있게 한다.
- 모집단의 설정, 표본추출, 모평균 또는 모비율의 추정과 그 결과의 해석을 평가할 때는 통 계적 문제해결에 기반한 평가를 할 수 있다.
- ‘확률질량함수’, ‘확률밀도함수’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.