고등학교 확률과 통계 · 통계 · 2022 개정 교육과정
[12확통03-04] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12확통03-04] 정규분포의 뜻과 성질을 이해하고, 이항분포와의 관계를 설명할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
평균 m과 표준편차 σ로 모양이 정해지는 종 모양의 정규분포 N(m, σ²)의 성질을 이해하고, 표준화 Z = (X − m)/σ로 확률을 구하며, n이 충분히 클 때 이항분포 B(n, p)가 정규분포 N(np, npq)에 가까워짐을 설명하는 성취기준이에요.
학습지 문항 예시 예시
정규분포와 표준화
- 정규분포 곡선은 x = m에 대해 대칭이고 곡선과 x축 사이의 넓이가 1이에요. σ가 커지면 곡선의 모양이 어떻게 변하는지 그 이유와 함께 쓰세요.
- 확률변수 X가 정규분포 N(50, 4²)을 따를 때 P(46 ≤ X ≤ 58)을 구하세요. (단, P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0.3413, P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.4772)
- 동전 한 개를 100번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 X라 하자. 정규분포로 근사하여 P(X ≥ 60)을 구하세요. (단, P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.4772)
- 공학 도구로 B(n, 0.5)의 그래프를 n = 10, 30, 100일 때 그려 정규분포 곡선과 비교하고 관찰한 점을 쓰세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 이항분포 막대그래프에서 n을 점점 크게 할 때 막대 끝을 이은 선이 매끄러운 종 모양에 가까워지는 장면을 함께 관찰해요.
- 전개 1: 평균과 표준편차를 각각 바꾸며 정규분포 곡선이 좌우로 이동하거나 퍼지는 모습을 비교하고, 넓이가 확률임을 확인해요.
- 전개 2: 서로 다른 정규분포를 Z = (X − m)/σ로 바꾸면 하나의 표준정규분포표로 확률을 구할 수 있음을 예제로 익혀요.
- 정리: B(400, 0.2)를 N(80, 8²)으로 근사하는 과정을 정리하고, 근사가 잘 되려면 n이 충분히 커야 함을 확인해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
어느 제품의 불량률이 0.2라고 가정하고 제품 400개를 독립적으로 검사할 때 불량품의 수 X에 대하여 P(X ≤ 68)을 정규분포로 근사하여 구하는 과정을 서술하시오. (단, P(0 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.4332)
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | X가 B(400, 0.2)를 따름을 밝히고 평균 80, 표준편차 √64 = 8을 구해 N(80, 8²)으로 근사한 뒤, Z ≤ −1.5로 표준화하여 0.5 − 0.4332 = 0.0668을 구함 |
| 중 | 평균과 표준편차는 바르게 구했으나 표준화한 뒤 대칭성을 이용한 넓이 계산에서 실수함 |
| 하 | 분산 64를 표준편차로 사용하거나 이항분포와 정규분포의 관계를 설정하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
정규분포 수업에서 공학 도구로 이항분포 B(n, 0.5)의 그래프를 n을 늘려 가며 그리고 정규분포 곡선과 겹쳐 비교하여 근사의 의미를 시각적으로 설명함. 평균과 표준편차가 다른 두 분포의 확률을 표준화로 비교하는 과정을 단계별로 정리함. 이항분포를 정규분포로 근사할 때 분산과 표준편차를 혼동하는 오류를 찾아 바로잡는 방법을 제안함.
이 예시는 187자, 나이스 기준 453Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
N(50, 16)처럼 쓰인 정규분포에서 16을 표준편차로 착각해 표준화하는 학생이 많아요. N(m, σ²)의 두 번째 자리는 분산이라는 점을 강조하고, 표준화 전에 σ = 4를 따로 적는 단계를 습관으로 만들게 해 주세요. σ가 커질수록 곡선이 낮고 넓게 퍼진다는 점도 함께 짚어 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 이항분포의 평균과 분산을 구하는 식을 증명하는 문제는 다루지 않는다.
- 모평균 및 모비율의 추정을 지도할 때, 복잡한 신뢰구간의 계산은 다루지 않는다.
- 불확실성의 해석에 대한 통계의 유용성을 인식하고 합리적인 판단을 추구함으로써 민주 시 민으로서의 소양을 기를 수 있게 한다.
- 모집단의 설정, 표본추출, 모평균 또는 모비율의 추정과 그 결과의 해석을 평가할 때는 통 계적 문제해결에 기반한 평가를 할 수 있다.
- ‘확률질량함수’, ‘확률밀도함수’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.