고등학교 확률과 통계 · 통계 · 2022 개정 교육과정
[12확통03-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12확통03-03] 이항분포의 뜻과 성질을 이해하고, 평균과 표준편차를 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
성공 확률이 p인 독립시행을 n번 반복할 때 성공 횟수 X가 따르는 이항분포 B(n, p)의 뜻을 이해하고, P(X = r) = ₙCᵣ pʳ qⁿ⁻ʳ과 E(X) = np, V(X) = npq를 활용하는 성취기준이에요. 어떤 상황이 이항분포의 조건을 만족하는지 판별하는 힘도 함께 길러요.
학습지 문항 예시 예시
독립시행과 이항분포
- 동전 한 개를 4번 던질 때 앞면이 정확히 2번 나올 확률을 구하세요.
- 자유투 성공률이 0.8인 선수가 서로 독립적으로 5번 던진다고 가정할 때 4번 이상 성공할 확률을 구하세요.
- 주사위 한 개를 10번 던질 때 6의 눈이 나오는 횟수 X의 평균과 분산을 구하세요.
- 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르고 E(X) = 12, V(X) = 3일 때 n과 p를 구하세요.
- 빨간 공 3개, 파란 공 7개 중에서 공을 다시 넣지 않고 3번 꺼낼 때 빨간 공의 개수가 이항분포를 따르는지 판단하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 오지선다형 5문항을 모두 임의로 찍었을 때 3문항 이상 맞힐 가능성을 예상하게 하여 같은 시행이 반복되는 상황을 제시해요.
- 전개 1: 성공과 실패의 배열을 나열하며 성공 r번인 배열이 ₙCᵣ가지이고 각 배열의 확률이 pʳqⁿ⁻ʳ임을 이끌어 내요.
- 전개 2: n = 3인 이항분포의 평균을 정의대로 직접 계산해 np와 일치함을 확인하고, 분산 npq도 같은 방법으로 검증해요.
- 정리: 공학 도구로 n을 키워 가며 B(n, 0.3)의 막대그래프를 그리고 모양이 대칭에 가까워지는 변화를 관찰해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
다섯 문항이 모두 오지선다형인 퀴즈에서 모든 문항을 임의로 찍을 때 맞힌 문항 수 X가 이항분포를 따르는 조건을 설명하고, X의 평균과 표준편차 및 3문항 이상 맞힐 확률을 구하여 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 각 문항의 정답 확률이 1/5로 일정하고 서로 독립임을 밝혀 B(5, 1/5)를 세우고, 평균 1, 표준편차 2√5/5와 확률 181/3125를 정확히 구함 |
| 중 | 이항분포를 바르게 설정하고 평균은 구했으나 표준편차 계산이나 3문항 이상의 확률 계산에서 일부 항을 빠뜨림 |
| 하 | 이항분포의 조건을 설명하지 못하고 확률 계산식에서 ₙCᵣ를 누락함 |
세특 기재 예시 예시
이항분포 학습에서 오지선다 문항을 임의로 찍는 상황을 B(5, 1/5)로 모델링하여 3문항 이상 맞힐 확률이 약 0.058임을 계산하고 찍기 전략의 한계를 근거로 제시함. n = 3인 경우 평균을 정의대로 전개하여 np가 되는 과정을 대수적으로 보임. 비복원 추출 상황이 이항분포가 아닌 까닭을 시행의 독립성과 연결하여 설명함.
이 예시는 183자, 나이스 기준 419Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
꺼낸 공을 다시 넣지 않는 추출처럼 시행마다 성공 확률이 바뀌는 상황에도 이항분포를 적용하는 학생이 많아요. 이항분포는 같은 조건의 독립시행이 반복될 때만 성립하므로, 풀기 전에 매번 성공 확률이 같은지, 결과가 서로 영향을 주는지를 점검하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 이항분포의 평균과 분산을 구하는 식을 증명하는 문제는 다루지 않는다.
- 모평균 및 모비율의 추정을 지도할 때, 복잡한 신뢰구간의 계산은 다루지 않는다.
- 불확실성의 해석에 대한 통계의 유용성을 인식하고 합리적인 판단을 추구함으로써 민주 시 민으로서의 소양을 기를 수 있게 한다.
- 모집단의 설정, 표본추출, 모평균 또는 모비율의 추정과 그 결과의 해석을 평가할 때는 통 계적 문제해결에 기반한 평가를 할 수 있다.
- ‘확률질량함수’, ‘확률밀도함수’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.