고등학교 확률과 통계 · 통계 · 2022 개정 교육과정
[12확통03-02] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12확통03-02] 이산확률변수의 기댓값(평균)과 표준편차를 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
이산확률변수 X의 기댓값 E(X) = Σ x P(X = x)와 분산, 표준편차를 구하고, aX + b 꼴로 바뀐 확률변수의 평균과 표준편차가 어떻게 달라지는지 이해하는 성취기준이에요. 기댓값을 확률을 가중치로 삼은 평균으로 해석하는 경험이 중요해요.
학습지 문항 예시 예시
기댓값과 표준편차 계산하기
- 주사위 한 개를 던져 나온 눈의 수를 X라 할 때 E(X)와 V(X)를 구하세요.
- 앞 문항의 X에 대하여 Y = 2X + 3일 때 E(Y)와 V(Y)를 구하고, 상수 3이 분산에 영향을 주지 않는 까닭을 설명하세요.
- 1000원을 내고 주사위를 던져 6의 눈이 나오면 4000원을 받는 게임에서 받는 금액의 기댓값을 구하고 참가가 유리한지 판단하세요.
- X가 0, 1, 2를 각각 확률 1/4, 1/2, 1/4로 가질 때 V(X) = E(X²) − {E(X)}²를 이용하여 표준편차를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 경품 추첨 행사에서 참가자 한 명이 평균적으로 얼마를 받게 되는지 묻는 질문으로 기댓값의 필요성을 느끼게 해요.
- 전개 1: 도수분포표의 평균 계산에서 상대도수 자리에 확률을 넣어 기댓값 공식을 이끌어 내고 주사위 예로 7/2를 확인해요.
- 전개 2: 편차 제곱의 기댓값으로 분산을 정의하고, 계산이 간단한 E(X²) − {E(X)}² 공식으로 구한 결과와 비교해요.
- 정리: 점수를 2배 하고 3점을 더하는 상황으로 E(aX + b) = aE(X) + b, σ(aX + b) = |a|σ(X)를 정리하며 변환의 의미를 해석해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
확률변수 X의 평균이 60, 표준편차가 8일 때, Y = 1.5X + 5의 평균과 표준편차를 구하고, 표준편차에는 5를 더한 효과가 나타나지 않는 이유를 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | E(Y) = 1.5 × 60 + 5 = 95, σ(Y) = 1.5 × 8 = 12를 구하고, 모든 값이 같은 양만큼 이동하면 평균으로부터의 거리인 편차가 변하지 않음을 근거로 설명함 |
| 중 | 평균과 표준편차는 바르게 구했으나 상수항이 표준편차에 영향을 주지 않는 까닭을 편차와 연결하지 못함 |
| 하 | σ(Y)를 1.5 × 8 + 5 = 17로 계산하는 등 변환 공식을 잘못 적용함 |
세특 기재 예시 예시
이산확률변수의 평균과 표준편차 학습에서 주사위 게임의 상금 구조를 직접 설계하고 참가비와 받는 금액의 기댓값을 비교하여 공정한 게임의 조건을 제안함. 분산을 정의식과 E(X²) − {E(X)}² 두 방법으로 구해 결과가 일치함을 확인하고 계산 효율을 비교함. 점수 변환 문제에서 상수를 더해도 표준편차가 변하지 않는 까닭을 편차의 의미로 설명함.
이 예시는 193자, 나이스 기준 465Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
V(2X + 3)을 2V(X) + 3이나 2V(X)로 계산하는 오류가 흔해요. 분산은 편차를 제곱한 값의 평균이므로 a배 하면 a²배가 되고, 더한 상수는 모든 값을 똑같이 옮길 뿐이라는 점을 간단한 분포를 직접 변환한 표로 확인하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 이항분포의 평균과 분산을 구하는 식을 증명하는 문제는 다루지 않는다.
- 모평균 및 모비율의 추정을 지도할 때, 복잡한 신뢰구간의 계산은 다루지 않는다.
- 불확실성의 해석에 대한 통계의 유용성을 인식하고 합리적인 판단을 추구함으로써 민주 시 민으로서의 소양을 기를 수 있게 한다.
- 모집단의 설정, 표본추출, 모평균 또는 모비율의 추정과 그 결과의 해석을 평가할 때는 통 계적 문제해결에 기반한 평가를 할 수 있다.
- ‘확률질량함수’, ‘확률밀도함수’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.