고등학교 공통수학2 · 함수와 그래프 · 2022 개정 교육과정
[10공수2-03-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수2-03-03] 역함수의 개념을 설명하고, 역함수를 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
일대일대응인 함수에서 대응 방향을 거꾸로 하여 얻는 역함수의 개념을 설명하고, 식으로 역함수를 구하는 성취기준이에요. 역함수가 존재하려면 일대일대응이어야 하는 이유를 이해하고, 함수와 그 역함수의 그래프가 직선 y = x 에 대하여 대칭임을 확인하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
역함수의 뜻과 구하는 방법
- 함수 f(x) = 2x − 6 의 역함수 f⁻¹(x)를 구하세요.
- 함수 f(x) = 3x + a 에 대하여 f⁻¹(5) = 1 일 때 상수 a 값을 구하세요.
- 실수 전체에서 정의된 함수 y = x² 의 역함수가 존재하지 않는 이유를 대응 관계로 설명하세요.
- 화씨온도 F를 섭씨온도 C로 나타낸 식 F = 1.8C + 32 의 역함수를 구하고, 화씨 77도는 섭씨 몇 도인지 구하세요.
- y = 2x − 6 과 그 역함수의 그래프를 한 좌표평면에 그리고, 두 그래프의 교점의 좌표를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 섭씨를 화씨로 바꾸는 식을 보여 주고, 화씨를 알 때 섭씨를 구하려면 어떻게 해야 하는지 생각해요.
- 전개 1: 대응 그림에서 화살표 방향을 거꾸로 하여 역함수를 만들고, 일대일대응이 아니면 거꾸로 한 대응이 함수가 되지 않음을 확인해요.
- 전개 2: y = f(x)를 x에 대해 풀고 x와 y를 바꾸는 순서로 역함수를 구하며, f⁻¹(f(x)) = x 로 검산해요.
- 정리: 함수와 역함수의 그래프를 함께 그려 직선 y = x 에 대하여 대칭임을 확인하고 교점의 위치를 찾아요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
일차함수 f(x) = ax + b 에 대하여 f(2) = 5, f⁻¹(−1) = −1 일 때 a, b 값과 역함수 f⁻¹(x)를 구하는 과정을 서술하시오. 또 구한 역함수를 이용하여 f⁻¹(7)의 값을 구하고, (f⁻¹∘f)(x) = x 임을 확인하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | f⁻¹(−1) = −1 을 f(−1) = −1 로 바꾸어 a = 2, b = 1 을 구하고 f⁻¹(x) = (x − 1)/2, f⁻¹(7) = 3 을 구하며 합성으로 x가 됨을 정확히 확인함 |
| 중 | a, b와 역함수는 바르게 구했으나 f⁻¹(−1) = −1 을 바꾸는 근거 설명이나 합성 확인이 빠짐 |
| 하 | f⁻¹(−1)을 f(−1)의 역수로 해석하는 등 역함수의 뜻을 잘못 이해하여 a, b를 구하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
역함수를 탐구하는 활동에서 섭씨와 화씨 온도 변환식을 거꾸로 푸는 상황으로 역함수의 필요성을 설명함. 대응 그림의 화살표를 거꾸로 그려 보며 일대일대응이 아닌 함수는 역함수가 존재하지 않음을 y = x² 의 예로 보임. 함수와 역함수의 그래프를 함께 그려 직선 y = x 에 대한 대칭을 확인하고, 구한 역함수를 합성하여 검산하는 습관을 보임.
이 예시는 192자, 나이스 기준 458Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
f⁻¹(x)를 1/f(x)로 착각하거나, 역함수를 구할 때 x에 대해 풀기만 하고 x와 y를 바꾸지 않는 실수가 많아요. f⁻¹(a) = b 를 f(b) = a 로 바꾸어 생각하는 연습과, 구한 역함수를 원래 함수와 합성해 x가 나오는지 확인하는 습관을 함께 길러 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 대응으로 정의된 함수의 예를 찾아보는 활동을 통해 함수의 유용성을 인식하게 한다.
- 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 일대일함수, 합성함수, 역함수의 의미는 구체적인 예를 통해 이해하게 한다.
- 함수의 그래프를 그리고 여러 가지 성질을 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 함수의 그래프와 그 성질을 다룰 때 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 함수를 이용하여 자연 현상, 사회 현상에 대한 실생활 문제를 해결하는 활동을 통해 함수와 그래프의 유용성을 인식하게 한다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.