고등학교 공통수학2 · 함수와 그래프 · 2022 개정 교육과정
[10공수2-03-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수2-03-05] 무리함수 y = √(ax + b) + c의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 탐구할 수 있다.
성취기준 해설
무리식은 무리함수의 의미를 이해할 수 있을 정도로 간단히 다루고, 무리함수는 의 기본적인 형태를 중심으로 간단한 문제만 다룬다.
쉽게 풀어 보면
무리함수 y = √(ax + b) + c 의 그래프를 y = √(ax)를 평행이동한 꼴로 그리고, 정의역과 치역, 그래프의 시작점을 탐구하는 성취기준이에요. 근호 안이 0 이상이어야 한다는 조건에서 정의역이 나온다는 점과, a의 부호에 따라 그래프가 뻗는 방향이 달라진다는 점을 이해하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
무리함수의 그래프 그리기
- y = √(x − 2) + 1 의 정의역, 치역, 그래프의 시작점을 구하세요.
- y = √(2x + 4) − 3 의 정의역과 치역을 구하고, x절편과 y절편을 구하세요.
- y = √(−x) 와 y = −√(x + 1)의 그래프를 그리고, 각각 어느 방향으로 뻗는지 쓰세요.
- y = √(x + 2) 의 그래프와 직선 y = x 의 교점을 구하세요. 이때 계산 중에 나온 값을 모두 답으로 쓸 수 있는지 확인하세요.
- 물체가 떨어진 거리 h(m)와 걸린 시간 t(초) 사이에 t = √(h/5) 의 관계가 있을 때, 20 m 를 떨어지는 데 걸리는 시간을 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 넓이가 x인 정사각형의 한 변의 길이 y = √x 를 표로 만들고 점을 찍어 그래프의 모양을 관찰해요.
- 전개 1: 근호 안이 0 이상이라는 조건으로 정의역을 구하고, y = √(ax)에서 a의 부호에 따라 그래프 방향이 바뀌는 것을 확인해요.
- 전개 2: y = √(ax + b) + c 를 y = √(a(x − p)) + q 꼴로 바꾸어 시작점 (p, q)를 찾고 평행이동으로 그래프를 그려요.
- 정리: 무리함수와 직선의 교점을 구할 때 양변을 제곱하면 생기는 근을 원래 식에 대입해 걸러 내는 과정을 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
무리함수 y = √(3 − x) + 2 의 그래프가 y = √(−x)의 그래프를 어떻게 평행이동한 것인지 설명하고, 정의역, 치역, y절편을 구하시오. 또 이 그래프와 직선 y = 4 의 교점을 구하는 과정을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | y = √(−(x − 3)) + 2 로 바꾸어 x축 방향으로 3, y축 방향으로 2 평행이동함을 밝히고, 정의역 x ≤ 3, 치역 y ≥ 2, y절편 √3 + 2, 교점 (−1, 4)를 바르게 구함 |
| 중 | 평행이동과 정의역, 치역은 바르게 설명했으나 y절편이나 교점 계산에 오류가 있음 |
| 하 | 정의역을 x ≥ 3 으로 쓰는 등 근호 안의 부호 조건을 잘못 적용하거나 평행이동 방향을 설명하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
무리함수의 그래프를 탐구하는 수업에서 근호 안이 0 이상이어야 한다는 조건으로 정의역을 구하고 평행이동을 이용해 그래프의 시작점을 찾아 그림. 무리함수와 직선의 교점을 구하며 양변을 제곱할 때 생기는 근을 원래 식에 대입하여 걸러냄. 떨어지는 물체의 시간과 거리 관계를 무리함수로 해석함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
y = √(x + 2) 와 y = x 의 교점을 구할 때 양변을 제곱해 얻은 x = −1 까지 답으로 쓰는 실수가 많아요. 제곱하면 원래 식에 없던 근이 생길 수 있으니 반드시 대입해 확인하게 해 주세요. y = √(3 − x)의 정의역을 x ≥ 3 으로 쓰는 부호 실수도 자주 나와요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘함수와 그래프’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘정의역, 치역, 공역, 대응, 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 일대일함수, 합성함수, 역함수, 다항함수, 유리식, 무리식, 유리함수, 점근선, 무리함수, →, ∘, ∘, , , ’를 다룬다.
- 대응으로 정의된 함수의 예를 찾아보는 활동을 통해 함수의 유용성을 인식하게 한다.
- 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 일대일함수, 합성함수, 역함수의 의미는 구체적인 예를 통해 이해하게 한다.
- 함수의 그래프를 그리고 여러 가지 성질을 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 함수의 그래프와 그 성질을 다룰 때 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 함수를 이용하여 자연 현상, 사회 현상에 대한 실생활 문제를 해결하는 활동을 통해 함수와 그래프의 유용성을 인식하게 한다.