고등학교 공통수학2 · 함수와 그래프 · 2022 개정 교육과정
[10공수2-03-04] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수2-03-04] 유리함수 y = (ax + b)/(cx + d)의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 탐구할 수 있다.
성취기준 해설
유리식은 유리함수의 의미를 이해할 수 있을 정도로 간단히 다루고, 유리함수는 의 기본적인 형태를 중심으로 간단한 문제만 다룬다.
쉽게 풀어 보면
유리함수 y = (ax + b)/(cx + d)를 y = k/(x − p) + q 꼴로 바꾸어 그래프를 그리고, 점근선과 정의역, 치역, 대칭성을 탐구하는 성취기준이에요. 유리식 계산은 간단히 다루고, 기본형 y = k/x 를 평행이동한 그래프라는 구조를 이해하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
유리함수의 그래프와 점근선
- y = (2x + 1)/(x − 1)을 y = k/(x − p) + q 꼴로 나타내고, 두 점근선의 방정식을 쓰세요.
- y = 3/(x + 2) − 1 의 그래프는 y = 3/x 의 그래프를 어떻게 평행이동한 것인지 쓰고, 정의역과 치역을 구하세요.
- y = (x + 3)/(x + 1)의 그래프를 그리고 x절편과 y절편을 구하세요.
- y = k/(x − p) + q 의 그래프가 어떤 점에 대하여 대칭인지 쓰고, 그 이유를 평행이동으로 설명해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: y = 1/x 의 표를 만들어 x가 0에 가까워지거나 커질 때 y가 어떻게 변하는지 관찰하며 점근선의 뜻을 떠올려요.
- 전개 1: 분자를 분모로 나누어 (2x + 1)/(x − 1) = 2 + 3/(x − 1)처럼 바꾸는 과정을 연습하고 p, q, k의 의미를 정리해요.
- 전개 2: 점근선을 먼저 긋고 k의 부호로 그래프가 놓이는 사분면을 정한 뒤 절편을 찍어 그래프를 완성해요.
- 정리: 공학 도구로 a, b, c, d 값을 바꿔 그래프를 확인하고, 손으로 그린 그래프와 점근선 위치를 비교해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
유리함수 y = (3x − 2)/(x − 2)의 그래프를 그리는 과정을 서술하고, 점근선의 방정식, x절편과 y절편, 그리고 3 ≤ x ≤ 6 에서 y가 가질 수 있는 값의 범위를 구하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | y = 4/(x − 2) + 3 으로 바꾸어 점근선 x = 2, y = 3, x절편 2/3, y절편 1 을 구하고, x > 2 에서 감소함을 근거로 범위 4 ≤ y ≤ 7 을 설명함 |
| 중 | 식 변형과 점근선은 바르게 구했으나 절편이나 값의 범위 중 하나에 오류가 있거나 감소하는 이유 설명이 빠짐 |
| 하 | 점근선을 x = −2 나 y = 1 로 잘못 구하거나, 식을 y = k/(x − p) + q 꼴로 바꾸지 못함 |
세특 기재 예시 예시
유리함수의 그래프를 탐구하는 활동에서 분자를 분모로 나누어 유리함수를 기본형의 평행이동 꼴로 변형하고 점근선을 찾아 그래프를 그림. 공학 도구로 계수를 바꾸어 보며 k의 부호에 따라 그래프가 놓이는 위치가 달라짐을 발견함. 그래프가 두 점근선의 교점에 대하여 대칭임을 평행이동으로 설명함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
y = (2x + 1)/(x − 1)의 점근선을 분모가 0이 되는 x = 1 은 찾지만, 가로 점근선을 y = 1 이나 y = 0 으로 잘못 쓰는 경우가 많아요. 반드시 y = k/(x − p) + q 꼴로 바꾸어 q를 확인하게 하고, 그래프가 점근선과 만나지 않는다는 점도 그림으로 짚어 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘함수와 그래프’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘정의역, 치역, 공역, 대응, 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 일대일함수, 합성함수, 역함수, 다항함수, 유리식, 무리식, 유리함수, 점근선, 무리함수, →, ∘, ∘, , , ’를 다룬다.
- 대응으로 정의된 함수의 예를 찾아보는 활동을 통해 함수의 유용성을 인식하게 한다.
- 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 일대일함수, 합성함수, 역함수의 의미는 구체적인 예를 통해 이해하게 한다.
- 함수의 그래프를 그리고 여러 가지 성질을 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 함수의 그래프와 그 성질을 다룰 때 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 함수를 이용하여 자연 현상, 사회 현상에 대한 실생활 문제를 해결하는 활동을 통해 함수와 그래프의 유용성을 인식하게 한다.