고등학교 공통수학2 · 함수와 그래프 · 2022 개정 교육과정
[10공수2-03-02] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수2-03-02] 함수의 합성을 설명하고, 합성함수를 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
한 함수의 결과를 다른 함수에 넣어 새 함수를 만드는 합성을 설명하고, 합성함수 (g∘f)(x) = g(f(x)) 를 구하는 성취기준이에요. 합성하는 순서가 바뀌면 결과가 달라질 수 있음을 확인하고, 할인과 쿠폰 적용처럼 단계가 이어지는 상황을 합성함수로 나타내는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
합성함수 구하기
- f(x) = 2x + 1, g(x) = x² − 1 일 때 (g∘f)(1)과 (f∘g)(1)의 값을 각각 구하세요.
- 위의 f, g에 대하여 (f∘g)(x)와 (g∘f)(x)를 구하고 두 식이 같은지 비교하세요.
- X = {1, 2, 3}에서 f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1 이고 g(1) = 3, g(2) = 1, g(3) = 2 일 때 (g∘f)(x)의 값을 표로 나타내세요.
- f(x) = 3x − 2 이고 (f∘h)(x) = 6x + 7 일 때 일차함수 h(x)를 구하세요.
- 정가 x원인 물건에 10% 할인 f(x) = 0.9x 와 2000원 쿠폰 g(x) = x − 2000 을 적용한다. 정가 30000원일 때 두 순서의 결제 금액을 비교하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 기계 두 대를 이어 붙인 그림으로 첫 기계의 출력이 둘째 기계의 입력이 되는 상황을 떠올려요.
- 전개 1: 대응 그림과 표로 합성함수의 값을 구하고, 앞 함수의 치역이 뒤 함수의 정의역에 들어가야 함을 확인해요.
- 전개 2: 식으로 주어진 두 함수의 합성을 구하며 f∘g 와 g∘f 가 일반적으로 다르다는 것을 여러 예로 확인해요.
- 정리: 할인과 쿠폰 적용 순서 문제를 합성함수로 나타내고 어느 순서가 유리한지 이유를 설명해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
두 함수 f(x) = 3x + 1, g(x) = 2x + b 에 대하여 모든 실수 x에서 (f∘g)(x) = (g∘f)(x) 가 성립하도록 하는 상수 b 값을 구하는 과정을 서술하시오. 또 합성함수에서 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않음을 보이는 예를 하나 드시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | (f∘g)(x) = 6x + 3b + 1, (g∘f)(x) = 6x + 2 + b 를 구하고 계수 비교로 b = 1/2 을 구하며, 교환법칙이 성립하지 않는 함수 쌍을 계산으로 정확히 보임 |
| 중 | b 값은 바르게 구했으나 교환법칙이 성립하지 않는 예의 계산이 부정확하거나 설명이 부족함 |
| 하 | 합성 순서를 거꾸로 적용하거나 g(f(x))를 g(x)·f(x)로 계산하는 오류가 있음 |
세특 기재 예시 예시
합성함수를 탐구하는 활동에서 두 기계를 이어 붙인 그림으로 앞 함수의 출력이 뒤 함수의 입력이 되는 과정을 설명함. 여러 함수 쌍의 f∘g 와 g∘f 를 직접 구해 비교하며 합성의 순서가 결과를 바꿀 수 있음을 확인함. 할인과 쿠폰 적용 순서 문제를 합성함수로 나타내어 금액 차이가 생기는 이유를 식으로 설명함.
이 예시는 174자, 나이스 기준 416Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
(g∘f)(x)를 계산할 때 g를 먼저 적용하거나, 합성을 두 함수의 곱으로 착각하는 실수가 많아요. 기호에서 오른쪽에 있는 함수가 먼저 적용된다는 점을 대응 그림으로 확인하게 하고, 숫자 하나를 넣어 단계별로 따라가게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 대응으로 정의된 함수의 예를 찾아보는 활동을 통해 함수의 유용성을 인식하게 한다.
- 일대일대응, 항등함수, 상수함수, 일대일함수, 합성함수, 역함수의 의미는 구체적인 예를 통해 이해하게 한다.
- 함수의 그래프를 그리고 여러 가지 성질을 탐구할 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 함수의 그래프와 그 성질을 다룰 때 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- 함수를 이용하여 자연 현상, 사회 현상에 대한 실생활 문제를 해결하는 활동을 통해 함수와 그래프의 유용성을 인식하게 한다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.