고등학교 미적분Ⅰ · 적분 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-03-06] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-03-06] 적분을 속도와 거리에 대한 문제에 활용하고, 그 유용성을 인식할 수 있다.
성취기준 해설
위치, 속도, 거리 등에 대한 문제는 직선 운동에 한하여 다룬다.
쉽게 풀어 보면
수직선 위를 움직이는 점의 속도 v(t)를 정적분하여 위치, 위치의 변화량, 움직인 거리를 구하는 성취기준이에요. 위치의 변화량은 ∫ₐᵇ v(t)dt이고 움직인 거리는 ∫ₐᵇ |v(t)|dt여서, 운동 방향이 바뀌면 두 값이 달라진다는 점이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
속도 그래프로 거리 구하기
- 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도가 v(t)=2t−4일 때, t=0에서 t=5까지 위치의 변화량과 움직인 거리를 각각 구해 보세요.
- 원점에서 출발한 점 Q의 속도가 v(t)=3t²−6t일 때 시각 t=3에서 점 Q의 위치를 구해 보세요.
- 위 점 Q가 t=0부터 t=3까지 움직인 거리를 구하고, 위치의 결과와 비교해 보세요.
- 속도 그래프와 시간축 사이의 넓이가 움직인 거리를 뜻하는 까닭을 일정한 속도로 움직이는 경우부터 설명해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 시속 60 km로 2시간 달린 거리가 120 km인 까닭을 속도-시간 그래프의 직사각형 넓이로 확인하며 시작해요.
- 전개 1: 속도가 변하는 경우 v(t) 그래프 아래 넓이가 위치의 변화량이 됨을 미분과 적분의 관계로 설명해요.
- 전개 2: v(t)=2t−4처럼 중간에 부호가 바뀌는 운동에서 위치의 변화량 5와 움직인 거리 13이 다른 까닭을 수직선 위에 움직임을 그려 확인해요.
- 정리: 위치, 위치의 변화량, 움직인 거리 세 개념을 구별하고 각각을 구하는 정적분 식을 나란히 적어요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도가 v(t)=t²−4t+3일 때, t=0에서 t=3까지 점 P의 위치의 변화량과 움직인 거리를 각각 구하고 두 값이 다른 까닭을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | v(t)=(t−1)(t−3)에서 t=1에 방향이 바뀜을 찾아 구간을 나누고, 위치의 변화량 0과 움직인 거리 4/3+4/3=8/3을 정확히 구하며 앞으로 갔다가 되돌아온 운동으로 차이를 설명함 |
| 중 | 위치의 변화량과 움직인 거리를 구분했으나 구간별 정적분 계산에 일부 오류가 있거나 차이에 대한 설명이 부족함 |
| 하 | ∫₀³ v(t)dt만 계산하여 움직인 거리도 0이라고 답함 |
세특 기재 예시 예시
적분을 직선 운동에 활용하는 수업에서 일정한 속도의 직사각형 넓이에서 출발해 속도 그래프 아래 넓이가 위치의 변화량이 됨을 설명함. v(t)=2t−4인 운동에서 위치의 변화량 5와 움직인 거리 13을 구분하여 계산하고, 방향이 바뀌는 시각 t=2를 기준으로 구간을 나누어야 하는 까닭을 수직선 그림으로 제시함. 위치, 위치의 변화량, 거리의 차이를 개념도로 정리함.
이 예시는 204자, 나이스 기준 480Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
움직인 거리를 구할 때 ∫v(t)dt를 그대로 계산해 위치의 변화량과 같은 값으로 답하는 학생이 많아요. 속도의 부호가 바뀌는 시각을 먼저 찾고 구간별로 절댓값을 적용해야 하며, 출발점으로 되돌아오는 운동은 위치의 변화량이 0이어도 거리는 0이 아님을 예로 보여 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 적분의 유용성과 가치를 인식하도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 부정적분의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
- 정적분의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- ‘피적분함수’, ‘원시함수’, ‘위끝’, ‘아래끝’, ‘미적분의 기본정리’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.