고등학교 미적분Ⅰ · 적분 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-03-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-03-05] 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이에 대한 문제를 해결할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
정적분을 이용해 곡선과 x축 사이의 넓이, 두 곡선 사이의 넓이를 구하는 성취기준이에요. 그래프를 먼저 그려 교점과 위아래 관계를 확인하고, 구간마다 위에 있는 함수에서 아래에 있는 함수를 빼서 적분하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
곡선이 둘러싼 넓이
- 곡선 y=x²−2x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구해 보세요.
- 곡선 y=x²과 직선 y=x+2로 둘러싸인 도형의 넓이를 구해 보세요.
- 곡선 y=x³과 x축 및 두 직선 x=−1, x=2로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하고, ∫₋₁² x³dx의 값과 비교해 보세요.
- 곡선 y=x²과 직선 y=4로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하고, 이 넓이를 이등분하는 수평선 y=k의 k를 구하는 방법을 설계해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 곡선 y=x²−2x 아래 영역의 정적분 값이 음수로 나오는 것을 보여 주며 넓이로 바꾸려면 무엇을 해야 할지 질문해요.
- 전개 1: 교점을 구하고 구간별로 그래프의 위아래를 판단해 부호를 처리하는 절차를 y=x³의 [−1, 2] 예로 연습해요.
- 전개 2: 두 곡선 사이의 넓이를 위 함수에서 아래 함수를 뺀 식의 정적분으로 구하고, y=x²과 y=x+2 사이의 넓이 9/2를 계산해요.
- 정리: 그래프 그리기, 교점 구하기, 위아래 판단, 정적분 계산으로 이어지는 풀이 순서를 학생 스스로 적어 봐요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
곡선 y=x³−x와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 과정을 쓰고, 정적분 ∫₋₁¹ (x³−x)dx의 값이 이 넓이와 다른 까닭을 그래프를 근거로 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 교점 x=−1, 0, 1을 구하고 [−1, 0]에서는 곡선이 x축 위, [0, 1]에서는 아래에 있음을 판단해 넓이 1/2을 구하며, 정적분 값 0은 두 부분이 부호가 반대로 상쇄된 결과임을 설명함 |
| 중 | 넓이 1/2은 구했으나 정적분 값이 0이 되는 까닭을 그래프의 위아래 관계와 연결하지 못함 |
| 하 | ∫₋₁¹ (x³−x)dx=0을 그대로 넓이로 답하거나 교점을 구하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 활동에서 y=x³의 구간 [−1, 2]에 대한 정적분 15/4와 실제 넓이 17/4가 다른 까닭을 x축 아래 부분의 부호로 설명함. 두 곡선 y=x²과 y=x+2의 교점을 구하고 위아래 관계를 판단하여 둘러싸인 넓이 9/2를 정확히 계산함. 그래프 그리기부터 정적분 계산까지의 풀이 순서를 정리하여 모둠원에게 안내함.
이 예시는 199자, 나이스 기준 445Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
두 곡선 사이의 넓이를 구할 때 어느 함수가 위에 있는지 확인하지 않고 식을 빼는 학생이 많아요. 교점 사이에서 위아래가 바뀌면 구간을 나누어야 하므로 그래프를 먼저 그리는 단계를 건너뛰지 않게 해 주세요. 넓이가 음수로 나오면 계산이 잘못되었다는 신호라는 점도 짚어 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 적분의 유용성과 가치를 인식하도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 부정적분의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
- 정적분의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- ‘피적분함수’, ‘원시함수’, ‘위끝’, ‘아래끝’, ‘미적분의 기본정리’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.