고등학교 미적분Ⅰ · 적분 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-03-04] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-03-04] 부정적분과 정적분의 관계를 이해하고, 다항함수의 정적분을 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
연속함수 f(x)에 대하여 d/dx ∫ₐˣ f(t)dt=f(x)임을 이해하고, F′(x)=f(x)일 때 ∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a)임을 이용해 다항함수의 정적분을 구하는 성취기준이에요. 넓이를 구하는 문제가 부정적분으로 계산된다는 미분과 적분의 연결이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
부정적분으로 정적분 구하기
- ∫₁³ (3x²−2x)dx의 값을 구해 보세요.
- d/dx ∫₀ˣ (t³+2t)dt를 구해 보세요.
- ∫₀¹ (x+1)²dx−∫₀¹ (x−1)²dx를 하나의 정적분으로 묶어 값을 구해 보세요.
- ∫₋₁¹ (x³+3x²+x)dx를 그래프가 원점 또는 y축에 대칭인 성질을 이용해 간단히 구해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 지난 시간 직사각형으로 어림한 y=x² 아래 넓이 1/3을 x³/3으로 단번에 얻는 모습을 보여 주며 호기심을 끌어내요.
- 전개 1: S(x)=∫ₐˣ f(t)dt로 두고 x가 h만큼 늘 때 늘어난 넓이가 약 f(x)·h임을 그림으로 보여 S′(x)=f(x)를 확인해요.
- 전개 2: 이 관계에서 ∫ₐᵇ f(x)dx=F(b)−F(a)가 나오는 과정을 따라가고, 여러 다항함수의 정적분을 계산해요.
- 정리: 적분 구간이 원점에 대칭일 때 홀수 차수 항이 사라지는 성질 등 계산을 줄이는 요령을 모아 봐요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 ∫₁ˣ f(t)dt=x³−2x²+ax를 만족시킬 때 상수 a와 f(x)를 구하고, 이를 이용하여 ∫₀² f(x)dx의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 양변에 x=1을 대입해 a=1을 구하고 양변을 미분해 f(x)=3x²−4x+1을 얻은 뒤, F(b)−F(a)로 ∫₀² f(x)dx=2를 정확히 계산함 |
| 중 | a와 f(x) 중 하나를 구하는 과정에서 근거가 불충분하거나 정적분 계산에서 부호 실수가 있음 |
| 하 | x=1을 대입하면 좌변이 0이 된다는 점이나 양변을 미분하는 방법을 활용하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
미분과 적분의 관계를 탐구하는 수업에서 넓이 함수 S(x)가 h만큼 늘 때의 증가분이 약 f(x)·h임을 그림으로 설명하여 S′(x)=f(x)임을 이해함. 이 관계에서 정적분을 부정적분의 함숫값 차로 계산하는 원리를 유도하고, 직사각형으로 어림했던 넓이 1/3을 x³/3으로 정확히 확인함. 적분 구간이 원점에 대칭일 때 홀수 차수 항의 정적분이 0이 되는 까닭을 그래프의 대칭으로 설명함.
이 예시는 218자, 나이스 기준 498Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
∫ₐˣ f(t)dt를 x에 대해 미분하면서 f(t)라고 쓰거나 아래끝 a를 대입한 값을 더하는 실수가 나와요. 적분변수 t와 위끝 x의 역할을 구분하게 하고, F(b)−F(a)를 계산할 때 F(a)를 빼는 과정에서 부호 실수가 잦으니 괄호를 꼭 쓰게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 적분의 유용성과 가치를 인식하도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 부정적분의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
- 정적분의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- ‘피적분함수’, ‘원시함수’, ‘위끝’, ‘아래끝’, ‘미적분의 기본정리’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.