고등학교 미적분Ⅰ · 적분 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-03-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-03-03] 정적분의 개념을 탐구하고, 그 성질을 이해한다.
성취기준 해설
닫힌구간 [a, b]에서 연속함수 f(x)의 함숫값이 음이 아닌 경우 함수 f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 f(x)의 a에서 b까지의 정적분이라하고, 이를 일반적인 연속함수에 대한 정적분의 정의로 확장한다.
쉽게 풀어 보면
닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 함숫값이 0 이상인 함수의 그래프와 x축 사이 도형의 넓이를 정적분 ∫ₐᵇ f(x)dx로 정하고, 이를 일반적인 연속함수로 확장하여 정적분의 성질을 이해하는 성취기준이에요. x축 아래에 있는 부분은 음의 값으로 계산된다는 점이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
넓이에서 정적분으로
- 함수 f(x)=2x의 그래프와 x축 및 직선 x=3으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 이용하여 ∫₀³ 2x dx의 값을 구해 보세요.
- 닫힌구간 [0, 1]을 4등분하여 y=x² 아래 영역을 직사각형으로 어림한 넓이 합을 구하고, 실제 값 1/3과 비교해 보세요.
- 연속함수 f(x)에 대하여 ∫₀² f(x)dx=5, ∫₂⁵ f(x)dx=−2일 때 ∫₀⁵ f(x)dx의 값을 구해 보세요.
- f(x)=x−2의 닫힌구간 [0, 2]에서의 정적분이 음수가 되는 까닭을 그래프로 설명해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 직선 y=2x 아래 삼각형의 넓이는 쉽게 구하지만 곡선 y=x² 아래 넓이는 어떻게 구할지 질문해요.
- 전개 1: [0, 1]을 4등분, 8등분하여 직사각형 넓이 합을 계산하고, 나누는 개수가 늘수록 값이 일정한 수에 가까워짐을 관찰해요.
- 전개 2: 함숫값이 음수인 구간에서는 넓이에 음의 부호를 붙여 정적분을 확장하는 약속을 이해하고, 구간을 나누어 더하는 성질을 그림으로 확인해요.
- 정리: 위끝과 아래끝이 같으면 0, 서로 바꾸면 부호가 바뀐다는 성질과 함께 넓이와 정적분이 달라지는 경우를 표로 구분해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
함수 f(x)=x−1에 대하여 닫힌구간 [0, 3]에서의 정적분 값과, 그래프와 x축 및 두 직선 x=0, x=3으로 둘러싸인 도형의 넓이를 각각 구하여 비교하고, 두 값이 다른 까닭을 정적분의 정의를 근거로 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | x축 아래 삼각형 넓이 1/2과 위 삼각형 넓이 2를 구해 정적분 값 3/2과 넓이 5/2를 정확히 제시하고, x축 아래 부분은 정적분에서 음의 값으로 계산됨을 정의에 근거해 설명함 |
| 중 | 두 값 중 하나만 정확히 구하거나, 값은 구했으나 차이가 생기는 까닭을 정의와 연결하지 못함 |
| 하 | 정적분 값과 넓이를 같은 것으로 보아 두 값을 구별하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
정적분의 개념을 탐구하는 활동에서 곡선 y=x² 아래 영역을 직사각형으로 4등분, 8등분하여 넓이 합을 계산하고 나누는 개수가 늘수록 값이 1/3에 가까워짐을 관찰함. 함숫값이 음수인 구간에서 정적분이 넓이에 음의 부호를 붙인 값이 됨을 그래프로 설명함. 구간을 나누어 더하는 성질을 이용해 여러 정적분 값을 조합하는 문제를 해결하고 풀이를 정리함.
이 예시는 195자, 나이스 기준 471Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
정적분 값과 넓이를 항상 같은 것으로 여기는 학생이 많아요. 그래프가 x축 아래에 있는 부분은 정적분에서 음수로 계산되므로, f(x)=x의 구간 [−1, 2]처럼 정적분은 3/2이지만 넓이는 5/2인 예를 비교하게 하고 넓이를 구할 때는 부호를 따로 고려하도록 지도해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 구체적인 자연 현상이나 사회 현상을 이해하는 과정에서 적분의 유용성과 가치를 인식하도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 부정적분의 기본 성질을 이해하고 활용할 수 있는 능력을 평가할 때, 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
- 정적분의 활용에서 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다.
- ‘피적분함수’, ‘원시함수’, ‘위끝’, ‘아래끝’, ‘미적분의 기본정리’ 용어는 교수·학습 상황에서 사용할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.