고등학교 대수 · 수열 · 2022 개정 교육과정
[12대수03-07] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12대수03-07] 수학적 귀납법의 원리를 이해하고, 이를 이용하여 명제를 증명할 수 있다.
성취기준 해설
수학적 귀납법을 이용한 증명은 원리를 이해할 수 있는 정도로 간단히 다룬다.
쉽게 풀어 보면
자연수 n에 대한 명제가 n = 1일 때 성립하고, n = k일 때 성립하면 n = k + 1일 때도 성립함을 보여 모든 자연수에서 참임을 증명하는 수학적 귀납법의 원리를 이해하는 성취기준이에요. 두 단계가 왜 모두 필요한지 도미노에 빗대어 설명할 수 있는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
도미노처럼 증명하기
- 1 + 2 + 2² + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1이 모든 자연수 n에 대해 성립함을 수학적 귀납법으로 증명해 보세요.
- 모든 자연수 n에 대하여 3ⁿ − 1이 2의 배수임을 증명할 때, n = k + 1인 경우 3ᵏ⁺¹ − 1을 어떻게 변형하면 좋을지 쓰세요.
- 도미노가 모두 쓰러지려면 어떤 두 조건이 필요한지 쓰고, 수학적 귀납법의 두 단계와 짝지어 보세요.
- n = k일 때 성립한다고 가정하면 n = k + 1일 때도 성립하지만 n = 1일 때는 성립하지 않는 명제의 예를 찾아보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 실제 도미노를 세워 '첫 번째가 쓰러진다'와 '앞이 쓰러지면 다음도 쓰러진다'는 두 조건을 발견해요.
- 전개 1: 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2를 예로 n = 1에서의 확인과 n = k에서 n = k + 1로 넘어가는 단계를 함께 써 봐요.
- 전개 2: 2의 거듭제곱의 합, 3ⁿ − 1의 배수 성질 같은 명제를 모둠별로 증명하고, 가정을 어디에 사용했는지 표시해요.
- 정리: 첫 단계를 빼면 거짓 명제도 '증명'되는 사례를 살펴보며 두 단계가 모두 필요한 이유를 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
모든 자연수 n에 대하여 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하고, 증명의 각 단계가 도미노의 어떤 조건에 해당하는지 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | n = 1일 때 좌변과 우변이 모두 1임을 확인하고, n = k일 때의 가정에 2k + 1을 더해 k² + 2k + 1 = (k + 1)²을 보이며, 두 단계를 첫 도미노와 연쇄 조건에 정확히 대응시킴 |
| 중 | 증명의 두 단계는 갖추었으나 가정을 사용하는 부분이 불분명하거나 도미노 비유와의 대응 설명이 부족함 |
| 하 | 몇 개의 n에 대입해 확인하는 것으로 증명을 대신하거나 n = k + 1 단계를 제시하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
수학적 귀납법 수업에서 도미노가 모두 쓰러지는 조건을 명제의 증명 구조와 대응시켜 원리를 설명함. 3ⁿ − 1이 2의 배수임을 증명하면서 3ᵏ⁺¹ − 1 = 3(3ᵏ − 1) + 2로 변형하여 귀납 가정을 활용하는 과정을 명확히 드러냄. 첫 단계를 생략하면 거짓 명제도 증명되는 듯 보이는 사례를 찾아 두 단계가 모두 필요함을 논증함.
이 예시는 187자, 나이스 기준 431Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
n = k일 때 성립한다고 가정하는 것이 증명할 내용을 미리 참으로 놓는 순환 논리라고 오해하는 학생이 있어요. 가정하는 것은 '어떤 k에서 참이면 다음에도 참'이라는 연결 관계이고, 출발점은 n = 1에서 직접 확인한다는 점을 도미노의 두 조건으로 구분해 설명해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 등비수열과 그 합을 이용하여 문제를 해결할 수 있는 능력을 평가할 때 연금의 일시 지급이나 대출금 상환 등과 같이 지나치게 복잡한 상황을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
- 수열과 관련된 여러 가지 문제를 귀납적으로 표현할 수 있게 하고, 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제는 다루지 않는다.
- 수학적 귀납법을 이용하여 명제를 증명하는 과정을 통해 논리적으로 사고하는 태도를 기르게 한다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.