고등학교 대수 · 수열 · 2022 개정 교육과정
[12대수03-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12대수03-03] 등비수열의 뜻을 알고, 일반항, 첫째항부터 제n항까지의 합을 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
이웃한 두 항의 비가 일정한 등비수열의 뜻을 알고, 일반항 aₙ = arⁿ⁻¹과 첫째항부터 제n항까지의 합을 구하는 성취기준이에요. Sₙ에서 rSₙ을 빼는 아이디어로 합 공식을 유도하고, 공비가 1인 경우를 따로 다루는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
일정한 비율로 커지는 수열
- 첫째항이 3, 공비가 2인 등비수열의 제8항과 첫째항부터 제8항까지의 합을 구해 보세요.
- a₂ = 6, a₅ = 48인 등비수열의 첫째항과 공비를 구해 보세요. (단, 공비는 실수)
- 세 양수 4, x, 25가 이 순서로 등비수열을 이룰 때 x의 값을 구해 보세요.
- 두께 0.1 mm인 종이를 반으로 접을 때마다 두께가 2배가 된다면 10번 접은 두께는 몇 mm인지 구하고, 실제로 계속 접기 어려운 이유도 생각해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 종이를 접을수록 두께가 빠르게 불어나는 상황을 등차수열과 비교하며 '일정한 비'라는 새로운 규칙을 찾아요.
- 전개 1: 공비의 뜻을 정하고 첫째항에 공비를 거듭 곱하는 과정을 표로 정리하여 일반항 arⁿ⁻¹을 얻어요.
- 전개 2: Sₙ과 rSₙ을 위아래로 맞춰 써서 빼면 가운데 항이 모두 사라짐을 확인하고, r = 1일 때는 Sₙ = na임을 따로 정리해요.
- 정리: 매년 일정 금액을 복리로 적립하는 상황을 등비수열의 합으로 표현해 보며 공식의 쓰임을 확인해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 공식을 Sₙ − rSₙ을 이용하여 유도하는 과정을 서술하고, 공비가 1인 경우에 이 공식을 쓸 수 없는 이유와 그때의 합을 함께 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | Sₙ − rSₙ = a − arⁿ에서 (1 − r)Sₙ = a(1 − rⁿ)을 얻고 r ≠ 1일 때 양변을 1 − r로 나눌 수 있음을 밝히며, r = 1이면 0으로 나누게 되므로 Sₙ = na로 따로 구함을 설명함 |
| 중 | 합 공식은 바르게 유도했으나 r = 1인 경우의 이유나 합을 불완전하게 설명함 |
| 하 | 합 공식을 외워 쓰기만 하고 유도 과정이나 공비가 1인 경우를 다루지 못함 |
세특 기재 예시 예시
등비수열 단원에서 Sₙ과 rSₙ을 나란히 써서 빼는 방법으로 합 공식을 유도하고, 공비가 1일 때 0으로 나누는 문제가 생김을 스스로 발견하여 경우를 나누어 정리함. 종이 접기 활동을 통해 10번 접으면 두께가 1024배가 됨을 계산하고 일정한 차로 늘어나는 경우와 비교한 그래프를 제시함. 복리 적립 상황을 등비수열의 합으로 모델링하는 과제에서 식을 체계적으로 세움.
이 예시는 206자, 나이스 기준 490Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
등비수열의 합 공식에서 rⁿ을 rⁿ⁻¹로 쓰거나, 공비가 1인 수열 5, 5, 5, …에도 같은 공식을 적용해 분모가 0이 되는 실수가 있어요. 첫째항부터 제n항까지는 항이 n개이므로 rⁿ이 나온다는 점을 작은 n으로 직접 더해 확인하고, r = 1일 때는 Sₙ = na라는 점을 따로 짚어 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 등비수열과 그 합을 이용하여 문제를 해결할 수 있는 능력을 평가할 때 연금의 일시 지급이나 대출금 상환 등과 같이 지나치게 복잡한 상황을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
- 수열과 관련된 여러 가지 문제를 귀납적으로 표현할 수 있게 하고, 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제는 다루지 않는다.
- 수학적 귀납법을 이용하여 명제를 증명하는 과정을 통해 논리적으로 사고하는 태도를 기르게 한다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.