고등학교 대수 · 수열 · 2022 개정 교육과정
[12대수03-05] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12대수03-05] 여러 가지 수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 구하는 방법을 설명할 수 있다.
성취기준 해설
여러 가지 수열의 합에서는 자연수의 거듭제곱의 합 Σₖ₌₁ⁿ k, Σₖ₌₁ⁿ k², Σₖ₌₁ⁿ k³과 수열의 합이 간단한 것만 다룬다.
쉽게 풀어 보면
Σk, Σk², Σk³ 공식과 이웃한 항이 서로 지워지는 분수 꼴 수열의 합 등 여러 가지 수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 구하는 방법을 설명하는 성취기준이에요. 공식을 외우기보다 (k + 1)³ − k³ 같은 항등식을 더해 공식을 이끄는 과정을 이해하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
여러 가지 수열의 합
- Σ(k=1부터 10까지) k²과 Σ(k=1부터 5까지) k³의 값을 공식을 이용해 구해 보세요.
- 1·2 + 2·3 + 3·4 + … + 10·11을 Σ로 나타내고 그 값을 구해 보세요.
- Σ(k=1부터 99까지) 1/(√(k + 1) + √k)의 값을 분모를 유리화하여 구해 보세요.
- (k + 1)³ − k³ = 3k² + 3k + 1을 k = 1부터 n까지 더하여 Σk² 공식을 유도하는 과정을 써 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 정사각형 모양으로 쌓은 공의 개수 1 + 4 + 9 + …를 세어 보며 거듭제곱의 합을 구할 필요를 느끼게 해요.
- 전개 1: 항등식 (k + 1)² − k² = 2k + 1과 (k + 1)³ − k³ = 3k² + 3k + 1을 차례로 더해 Σk와 Σk² 공식을 유도해요.
- 전개 2: Σk³ = {n(n + 1)/2}²을 작은 n으로 확인하고, 부분분수로 나누어 이웃한 항이 지워지는 합을 계산해요.
- 정리: 일반항을 k의 다항식으로 정리해 공식을 쓰는 경우와 항을 쪼개 지우는 경우를 구분하는 판단 기준을 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
합 1/(1·2) + 1/(2·3) + … + 1/(n(n + 1))을 n에 대한 식으로 나타내는 과정을 서술하고, 이 방법이 계산을 간단하게 만드는 원리를 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 1/(k(k + 1)) = 1/k − 1/(k + 1)로 나누어 더하면 가운데 항이 모두 지워지고 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1)이 남음을 보이며, 이웃한 항끼리 상쇄되는 원리를 명확히 설명함 |
| 중 | 부분분수 분해와 결과는 맞으나 상쇄되는 원리 설명이 부족하거나 남는 항을 정리하는 과정이 일부 생략됨 |
| 하 | 부분분수로 나누지 못하거나 각 항을 그대로 더하려 하여 일반적인 식을 얻지 못함 |
세특 기재 예시 예시
여러 가지 수열의 합 단원에서 (k + 1)³ − k³ = 3k² + 3k + 1을 k = 1부터 n까지 더하는 방법으로 자연수의 제곱의 합 공식을 직접 유도함. Σk³이 (Σk)²과 같다는 사실을 정사각형 넓이 그림으로 설명하는 자료를 제작함. 분수 꼴 수열의 합에서 부분분수로 나누어 이웃 항이 지워지는 과정을 단계별로 정리하여 발표함.
이 예시는 190자, 나이스 기준 420Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
Σk²을 (Σk)²과 같다고 생각해 n = 3일 때 36이라고 답하는 학생이 있어요. 1 + 4 + 9 = 14임을 직접 계산해 비교하게 하고, 제곱의 합과 합의 제곱은 다르며 오히려 Σk³이 (Σk)²과 같다는 흥미로운 사실로 차이를 확실히 기억하게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 등비수열과 그 합을 이용하여 문제를 해결할 수 있는 능력을 평가할 때 연금의 일시 지급이나 대출금 상환 등과 같이 지나치게 복잡한 상황을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
- 수열과 관련된 여러 가지 문제를 귀납적으로 표현할 수 있게 하고, 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하는 문제는 다루지 않는다.
- 수학적 귀납법을 이용하여 명제를 증명하는 과정을 통해 논리적으로 사고하는 태도를 기르게 한다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.