고등학교 공통수학1 · 다항식 · 2022 개정 교육과정
[10공수1-01-02] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[10공수1-01-02] 항등식의 성질과 나머지정리를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
문자에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 등식인 항등식의 성질을 이해하고, 이를 바탕으로 다항식 f(x)를 x − a 로 나눈 나머지가 f(a)라는 나머지정리를 활용하는 성취기준이에요. 계수비교법과 수치대입법으로 미정계수를 구하고, 직접 나누지 않고도 나머지를 구하는 원리를 설명하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
항등식과 나머지정리 활용하기
- 등식 2x² + ax − 3 = (x + b)(2x − 1) 이 x 에 대한 항등식일 때, 계수를 비교하여 상수 a, b 의 값을 구하세요.
- x² + 3x + 5 = a(x − 1)² + b(x − 1) + c 가 x 에 대한 항등식일 때, x 에 1, 0, 2 를 차례로 대입하여 a, b, c 의 값을 구하세요.
- f(x) = x³ − 2x² + 4x − 1 을 x − 2 로 나눈 나머지와 x + 1 로 나눈 나머지를 직접 나누지 않고 구하세요.
- 다항식 x³ + ax² − x + 2 가 x − 1 로 나누어떨어지도록 하는 상수 a 의 값을 구하세요.
- 다항식 f(x) 를 x − 1 로 나눈 나머지가 3, x − 2 로 나눈 나머지가 5 일 때, f(x) 를 (x − 1)(x − 2) 로 나눈 나머지를 구하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 2(x + 1) = 2x + 2 와 2x + 1 = 5 에 여러 값을 넣어 보며 항상 참인 등식과 특정 값에서만 참인 등식을 구분해요.
- 전개 1: 항등식에서 양변의 같은 차수 항의 계수가 같다는 성질을 확인하고, 계수비교법과 수치대입법으로 미정계수를 구해 결과를 비교해요.
- 전개 2: f(x) = (x − a)Q(x) + R 이 항등식임을 이용해 x = a 를 대입하면 나머지가 f(a)가 되는 이유를 직접 설명해 봐요.
- 정리: 나머지가 0 이면 x − a 가 인수가 된다는 점을 정리하고, 나머지정리로 구한 값을 실제 나눗셈 결과와 비교해 확인해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
다항식 f(x) 를 x − a 로 나눈 나머지가 f(a) 인 이유를 항등식의 성질을 이용하여 설명하시오. 또 다항식 f(x) = x³ + ax² + bx − 6 이 x − 1 로 나누어떨어지고, x + 1 로 나눈 나머지가 −8 일 때 상수 a, b 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | f(x) = (x − a)Q(x) + R 이 항등식이므로 x = a 를 대입할 수 있음을 밝혀 나머지정리를 설명하고, f(1) = 0, f(−1) = −8 로 연립방정식을 세워 a = 2, b = 3 을 구함 |
| 중 | a = 2, b = 3 은 바르게 구했으나 나머지정리가 성립하는 이유에서 항등식이라는 근거를 밝히지 못함 |
| 하 | 조건을 식으로 세우는 과정에서 f(1), f(−1) 을 잘못 계산하거나 나머지정리의 의미를 설명하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
항등식의 성질을 탐구하는 활동에서 여러 값을 대입해 보며 항상 참인 등식과 방정식의 차이를 사례로 구분함. 계수비교법과 수치대입법으로 같은 미정계수를 구해 보고, 대입할 값을 고르는 기준을 스스로 정리함. 나눗셈의 결과를 항등식으로 나타낸 뒤 x = a 를 대입하면 나머지만 남는다는 점을 칠판에 설명하며 나머지정리의 원리를 이해했음을 보여 줌. 직접 나눗셈한 결과와 비교하여 검산하는 태도가 돋보임.
이 예시는 224자, 나이스 기준 550Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
x − a 로 나눈 나머지를 구할 때 f(a) 가 아니라 f(−a) 를 계산하는 실수가 많아요. x + 1 로 나눌 때는 x + 1 = 0 이 되는 x = −1 을 넣어야 한다는 점을 강조하고, 항등식이어야만 아무 값이나 대입할 수 있다는 근거도 함께 짚어 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘다항식’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘미정계수법, 나머지정리, 인수정리, 조립제법’을 다룬다.
- 다항식의 곱셈과 인수분해는 중학교에서 학습한 내용을 토대로 고등학교에서 추가된 내용을 이해하게 하고, 복잡한 인수분해 문제는 다루지 않는다.
- 조립제법은 중학교에서 학습한 다항식을 단항식으로 나누는 연산과 연계하여 이해하게 하고, 구체적인 예를 통하여 그 방법을 간단히 다룬다.
- 항등식의 성질, 나머지정리와 인수정리를 활용하는 복잡한 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.