고등학교 경제 수학 · 미분과 경제 · 2022 개정 교육과정
[12경수04-04] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12경수04-04] 미분을 활용하여 경제 현상의 최적화 문제를 해결할 수 있다.
성취기준 해설
여러 독립변수들의 관계로 표현되는 함수는 특정 변수들을 고정하여 일변수함수로 바꾸어 다룬다. 효용함수를 이용한 소비자의 의사 결정, 생산함수를 이용한 생산자의 의사 결정 등과 같은 문제를 다룸으로써 경제 주체로서 합리적으로 의사 결정하는 태도를 갖게 하여 민주 시민으로서의 소양을 함양하게 한다.
쉽게 풀어 보면
미분을 활용해 이윤을 가장 크게 하거나 예산 안에서 효용을 가장 크게 하는 경제 주체의 최적화 문제를 해결하는 성취기준이에요. 변수가 둘인 효용함수는 예산 조건으로 한 변수를 다른 변수로 나타내 일변수함수로 바꾸고, 한계수입과 한계비용이 같아지는 점에서 이윤이 최대가 된다는 것을 계산으로 확인하게 하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
미분으로 최적의 선택 찾기
- 수입함수 R(x) = 100x − x², 비용함수 C(x) = x² + 20x + 200일 때 이윤함수 P(x)를 구하세요.
- 1번의 이윤함수를 미분하여 이윤이 최대가 되는 생산량과 최대 이윤을 구하세요.
- 1번에서 한계수입 R′(x)와 한계비용 C′(x)가 같아지는 생산량을 구하고 2번의 답과 비교하세요.
- 효용함수 U = xy에서 예산 조건 2x + 4y = 80을 이용해 y를 x에 대한 식으로 나타내고, U를 x에 대한 함수로 바꾸어 쓰세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 정해진 예산으로 두 가지 상품을 몇 개씩 사야 만족이 가장 클지 질문하며 최적화의 뜻을 이야기해요.
- 전개 1: 수입함수와 비용함수로 이윤함수를 세우고 미분계수가 0이 되는 점을 찾아 이윤이 최대가 되는 생산량을 구해요.
- 전개 2: 한계수입과 한계비용이 같아지는 조건과 비교한 뒤, 두 변수의 효용함수를 예산 조건으로 일변수함수로 바꾸어 최댓값을 구해요.
- 정리: 생산자와 소비자의 최적 선택이 모두 한 단위 더의 이익과 비용을 비교하는 원리라는 점을 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
상품 X의 가격이 2천 원, 상품 Y의 가격이 4천 원이고 예산이 8만 원인 소비자의 효용함수가 U = xy일 때, 예산을 모두 쓴다는 조건으로 U를 x에 대한 함수로 바꾸어 효용을 최대로 하는 X와 Y의 구매량과 최대 효용을 미분으로 구하고, 그 결과를 소비자의 합리적 선택과 연결하여 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | y = 20 − x/2를 대입해 U(x) = 20x − x²/2로 바꾸고 미분하여 X 20개, Y 10개, 최대 효용 200을 구하며, 두 상품에 예산을 절반씩 쓰는 선택이 합리적인 까닭을 설명함 |
| 중 | 일변수함수로 바꾸어 최적 구매량은 구했으나 최대 효용 계산이나 결과 해석에 일부 오류가 있음 |
| 하 | 예산 조건을 이용하지 못해 변수를 줄이지 못하거나 미분을 활용하지 않고 값을 짐작함 |
세특 기재 예시 예시
경제 현상의 최적화 문제를 해결하는 활동에서 이윤함수를 미분해 최대 이윤이 되는 생산량을 구하고, 한계수입과 한계비용이 같아지는 조건과 같은 결과가 나옴을 확인함. 변수가 둘인 효용함수를 예산 조건으로 일변수함수로 바꾸어 최적의 구매량을 구하고, 두 상품에 예산을 절반씩 쓰게 되는 결과를 해석함. 생산자와 소비자의 선택이 모두 한 단위 더의 이익과 비용을 비교하는 원리라는 점을 정리하여 합리적 의사 결정의 의미를 설명함.
이 예시는 237자, 나이스 기준 589Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
변수가 두 개인 효용함수를 보면 각각을 따로 미분해 0으로 놓으려는 학생이 많아요. 이 과목에서는 예산 조건으로 한 변수를 다른 변수로 나타내 일변수함수로 바꾼 뒤 미분한다는 순서를 분명히 해 주세요. 미분계수가 0인 점을 찾은 뒤 그 점이 최대인지 증감으로 확인하는 과정도 빠뜨리지 않게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘미분과 경제’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘평균변화율, 극한(값), 미분계수, 도함수, 미분, 증가, 감소, 극대, 극소, 극댓값, 극솟값, 한계생산량, 최적생산량, 탄력성, 최적화’를 다룬다.
- 미분의 개념과 활용에서는 다항함수의 미분을 다룬다.
- 미분을 이용하여 한계효용, 한계비용, 한계수입, 한계생산량 등을 구해 봄으로써 한계의 개념을 설명할 수 있게 한다.
- 미분계수를 도입하거나 그래프의 개형을 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.