고등학교 경제 수학 · 미분과 경제 · 2022 개정 교육과정
[12경수04-02] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12경수04-02] 미분을 이용하여 그래프의 개형을 탐구하고 해석할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
도함수의 부호로 함수의 증가와 감소를 판단하고 극대·극소를 찾아 그래프의 개형을 그린 뒤, 이윤함수의 모양을 경제적으로 해석하는 성취기준이에요. 삼차 이윤함수의 도함수를 인수분해해 증감표를 만들고, 생산량을 늘릴수록 이윤이 늘다가 줄어드는 지점을 그래프에서 읽어 내게 하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
증감표로 이윤 그래프 그리기
- 함수 f(x) = x³ − 3x²의 도함수를 구하고, f′(x) = 0이 되는 x의 값을 구하세요.
- 1번의 함수에 대해 증감표를 만들고 극댓값과 극솟값을 구하세요.
- 이윤함수 P(x) = −x³ + 6x² + 15x − 20 (x ≥ 0)의 도함수를 구하고 인수분해하세요.
- 3번의 결과로 이윤이 증가하는 생산량의 범위와 감소하는 범위를 구하고, x = 0일 때 이윤이 음수인 까닭을 경제적으로 해석하세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 생산량을 늘리면 이윤이 계속 늘어날지 학생들의 예상을 묻고, 이윤 그래프의 모양을 자유롭게 그려 보게 해요.
- 전개 1: 도함수의 부호와 함수의 증가·감소 관계를 확인하고, f′(x) = 0인 점을 기준으로 증감표를 만드는 방법을 익혀요.
- 전개 2: 삼차 이윤함수의 증감표를 만들어 극댓값을 구하고, 그래프의 개형을 그려 이윤이 최대인 생산량을 해석해요.
- 정리: 도입의 예상 그래프와 실제 개형을 비교하고, 그래프의 각 부분이 경제적으로 무엇을 뜻하는지 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
어느 기업의 이윤함수가 P(x) = −x³ + 6x² + 15x − 20 (x ≥ 0, 단위: 백만 원)일 때, 도함수를 이용해 증감표를 만들고 그래프의 개형을 그린 뒤, 이윤이 최대가 되는 생산량과 최대 이윤을 구하여 그래프의 모양을 경제적으로 해석하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | P′(x) = −3(x − 5)(x + 1)로 증감표를 바르게 만들어 x = 5에서 극대이자 최대인 이윤 80(백만 원)을 구하고, 증가·감소 구간과 P(0) = −20의 의미를 경제적으로 해석함 |
| 중 | 증감표와 최댓값은 맞으나 그래프 개형이나 경제적 해석 가운데 일부가 부족함 |
| 하 | 도함수 계산이나 인수분해에 오류가 있어 증감 구간과 최댓값을 구하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
미분을 이용한 그래프 탐구 활동에서 삼차 이윤함수의 도함수를 인수분해하여 증감표를 만들고 그래프의 개형을 정확히 그림. 생산량이 5일 때 이윤이 최대가 되고 그 이후에는 생산을 늘릴수록 이윤이 줄어든다는 점을 그래프로 해석하여 생산을 무조건 늘리는 것이 합리적이지 않음을 설명함. 그래프의 세로축 절편이 고정비용에 따른 손실을 뜻한다는 점도 찾아냄.
이 예시는 195자, 나이스 기준 487Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
f′(x) = 0인 점이면 언제나 극값이라고 생각하는 학생이 많아요. f(x) = x³처럼 도함수가 0이어도 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니라는 점을 증감표로 보여 주세요. 정의역이 x ≥ 0으로 제한된 경제 함수에서는 x = −1처럼 범위 밖의 값을 버려야 한다는 점도 함께 짚어 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘미분과 경제’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘평균변화율, 극한(값), 미분계수, 도함수, 미분, 증가, 감소, 극대, 극소, 극댓값, 극솟값, 한계생산량, 최적생산량, 탄력성, 최적화’를 다룬다.
- 미분의 개념과 활용에서는 다항함수의 미분을 다룬다.
- 미분을 이용하여 한계효용, 한계비용, 한계수입, 한계생산량 등을 구해 봄으로써 한계의 개념을 설명할 수 있게 한다.
- 미분계수를 도입하거나 그래프의 개형을 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.