고등학교 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-01-04] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-01-04] 연속함수의 성질을 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.
성취기준 해설
연속함수의 성질을 이용하여 함수의 최대·최소 정리, 사잇값 정리 등을 이해하게 한다.
쉽게 풀어 보면
연속함수의 합, 차, 실수배, 곱, 몫도 연속이라는 성질과, 닫힌구간에서 연속인 함수는 최댓값과 최솟값을 가진다는 최대·최소 정리, 그리고 사잇값 정리를 이해하는 성취기준이에요. 사잇값 정리로 방정식의 실근이 존재하는 구간을 찾는 것이 대표적인 활용이에요.
학습지 문항 예시 예시
근이 숨어 있는 구간 찾기
- f(x)=x³+2x−4에 대해 f(1)과 f(2)의 부호를 조사하고, 방정식 f(x)=0이 열린구간 (1, 2)에서 실근을 가짐을 보여 보세요.
- 닫힌구간 [−1, 2]에서 함수 f(x)=x²−2x의 최댓값과 최솟값을 구해 보세요.
- 열린구간 (0, 1)에서 f(x)=x가 최댓값을 가지지 않는 까닭을 설명하고, 최대·최소 정리의 조건과 비교해 보세요.
- 방정식 x³−3x+1=0의 실근이 있는 구간을 이웃한 두 정수 사이의 구간으로 모두 찾아 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 아침 기온이 3도, 낮 기온이 15도였다면 그 사이 정확히 10도였던 순간이 반드시 있었는지 물어요.
- 전개 1: 연속함수의 합·차·곱·몫의 연속성을 확인하고, 최대·최소 정리에는 닫힌구간과 연속이라는 두 조건이 모두 필요함을 반례로 살펴요.
- 전개 2: x³−3x+1=0의 함숫값 부호표를 만들어 실근이 있는 구간을 찾고, 구간을 반씩 줄여 근의 근삿값을 좁혀요.
- 정리: 사잇값 정리는 근의 존재만 알려 줄 뿐 근의 개수나 정확한 값은 알려 주지 않는다는 한계를 짚어요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
방정식 x³+x−1=0이 열린구간 (0, 1)에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 사잇값 정리를 이용하여 보이고, 이 과정에서 함수의 연속성이 왜 필요한지 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | f(x)=x³+x−1이 다항함수이므로 [0, 1]에서 연속임을 밝히고, f(0)=−1<0, f(1)=1>0을 근거로 사잇값 정리를 적용하며 불연속이면 결론이 성립하지 않을 수 있음을 설명함 |
| 중 | f(0)과 f(1)의 부호가 다름을 보여 실근의 존재를 주장했으나 연속성의 필요성에 대한 설명이 부족함 |
| 하 | 함숫값을 계산하지 못하거나 근을 직접 구하려고 시도하다가 결론에 이르지 못함 |
세특 기재 예시 예시
연속함수의 성질을 다루는 수업에서 기온이 오르는 상황을 함수로 해석하여 그 사이의 모든 온도를 반드시 거친다는 사잇값 정리의 의미를 설명함. 삼차방정식 x³−3x+1=0의 함숫값 부호표를 작성하여 실근이 있는 세 구간을 찾아냄. 구간을 반으로 나누는 과정을 반복해 근의 근삿값을 좁혀 가는 방법을 제안하고, 열린구간에서 최댓값이 없는 반례를 들어 정리의 조건을 점검함.
이 예시는 206자, 나이스 기준 502Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
f(a)와 f(b)의 부호가 같으면 그 사이에 근이 없다고 판단하는 학생이 많아요. 사잇값 정리는 부호가 다를 때 근의 존재를 보장할 뿐이에요. f(x)=x²−1/4은 f(−1)과 f(1)이 모두 양수이지만 구간 안에 두 근을 가진다는 예로 확인해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘함수의 극한과 연속’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘구간, 닫힌구간, 열린구간, 반닫힌(반열린) 구간, 수렴, 극한(값), 좌극한, 우극한, 발산, 무한대, 연속, 불연속, 연속함수, 최대·최소 정리, 사잇값 정리, [a,b], (a,b), [a,b), (a,b], lim(x→a) f(x), lim(x→a−) f(x), lim(x→a+) f(x), ∞’를 다룬다.
- 무한을 수학적으로 다루는 방법에 흥미와 관심을 갖도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 함수의 극한과 연속에 대한 뜻과 성질을 그래프를 통해 직관적으로 이해하게 하고, 이때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 함수의 연속성을 판정하는 과정에서 체계적으로 사고하여 의사 결정하는 태도를 기르게 한다.
- 함수의 극한과 연속의 뜻과 성질에 대한 이해 여부를 평가할 때, 복잡한 합성함수나 절댓값이 여러 개 포함된 함수와 같이 지나치게 복잡한 함수를 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.