고등학교 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-01-03] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-01-03] 함수의 연속을 극한으로 탐구하고 이해한다.
쉽게 풀어 보면
함수 f(x)가 x=a에서 연속이라는 것을 f(a)가 정의되고, 극한값 lim x→a f(x)가 존재하며, 두 값이 같다는 세 조건으로 이해하는 성취기준이에요. 그래프가 끊어지지 않는다는 직관을 극한의 언어로 정확하게 표현하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
끊어진 곳 찾기
- 함수 f(x)가 x=a에서 연속이기 위한 세 가지 조건을 쓰고, 각 조건이 깨진 그래프를 하나씩 그려 보세요.
- f(x)=(x²−4)/(x−2) (x≠2), f(2)=k인 함수가 x=2에서 연속이 되도록 하는 상수 k의 값을 구해 보세요.
- f(x)=x²+a (x<1), f(x)=2x+3 (x≥1)인 함수가 실수 전체에서 연속일 때 상수 a의 값을 구해 보세요.
- 일정 시간마다 요금이 한 단계씩 오르는 주차 요금을 시간에 대한 함수로 그려 보고, 불연속인 지점이 어디인지 조사해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 일정 시간마다 요금이 오르는 주차 요금 그래프를 보여 주며 그래프가 끊어진 곳을 찾게 해요.
- 전개 1: 빈 점, 튀어나온 점, 좌우 극한이 다른 점이 있는 세 그래프를 비교하며 연속의 세 조건 중 무엇이 깨졌는지 판별해요.
- 전개 2: 조각함수가 경계점에서 연속이 되도록 미지수를 정하는 문제를 짝과 함께 해결해요.
- 정리: 다항함수는 실수 전체에서 연속이고 유리함수는 분모가 0이 아닌 곳에서 연속임을 확인해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
함수 f(x)가 x≠1일 때 f(x)=(x²+ax−3)/(x−1)이고 f(1)=b이다. f(x)가 x=1에서 연속일 때 상수 a, b의 값을 구하고, 연속의 세 조건이 풀이의 어느 단계에서 쓰였는지 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 극한값이 존재해야 하므로 분자의 극한이 0이 되어 a=2임을 구하고, 극한값 4와 함숫값이 같아야 하므로 b=4임을 세 조건과 하나하나 대응시켜 설명함 |
| 중 | a, b의 값은 구했으나 세 조건과 풀이 단계의 대응 관계를 일부만 설명함 |
| 하 | 연속의 조건을 '함숫값이 존재한다'로만 이해하여 a, b 중 하나 이상을 구하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
연속의 뜻을 탐구하는 활동에서 주차 요금 그래프를 예로 들어 요금이 오르는 시점에서 좌극한과 우극한이 달라 불연속이 됨을 설명함. 빈 점과 튀어나온 점이 있는 그래프를 분류하며 연속의 세 조건 중 어느 것이 성립하지 않는지 정확히 판별함. 경계점에서 연속이 되도록 미지수를 정하는 문제를 해결하고 풀이 과정을 극한 기호로 정리함.
이 예시는 184자, 나이스 기준 454Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
'펜을 떼지 않고 그릴 수 있으면 연속'이라는 직관만 가진 학생은 f(a)가 다른 위치에 찍힌 경우를 놓치기 쉬워요. 극한값이 존재해도 함숫값과 다르면 불연속임을 튀어나온 점 그래프로 보여 주고, 세 조건을 하나씩 확인하는 습관을 들이게 해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘함수의 극한과 연속’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘구간, 닫힌구간, 열린구간, 반닫힌(반열린) 구간, 수렴, 극한(값), 좌극한, 우극한, 발산, 무한대, 연속, 불연속, 연속함수, 최대·최소 정리, 사잇값 정리, [a,b], (a,b), [a,b), (a,b], lim(x→a) f(x), lim(x→a−) f(x), lim(x→a+) f(x), ∞’를 다룬다.
- 무한을 수학적으로 다루는 방법에 흥미와 관심을 갖도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 함수의 극한과 연속에 대한 뜻과 성질을 그래프를 통해 직관적으로 이해하게 하고, 이때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 함수의 연속성을 판정하는 과정에서 체계적으로 사고하여 의사 결정하는 태도를 기르게 한다.
- 함수의 극한과 연속의 뜻과 성질에 대한 이해 여부를 평가할 때, 복잡한 합성함수나 절댓값이 여러 개 포함된 함수와 같이 지나치게 복잡한 함수를 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.