고등학교 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-01-02] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-01-02] 함수의 극한에 대한 성질을 이해하고, 함수의 극한값을 구할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
극한값이 존재하는 두 함수의 합, 차, 실수배, 곱, 몫의 극한은 각 극한값의 합, 차, 실수배, 곱, 몫과 같다는 성질을 이해하고 이를 이용해 극한값을 계산하는 성취기준이에요. 0/0 꼴은 인수분해나 유리화로 식을 정리한 뒤 구한다는 점이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
극한의 성질로 계산하기
- lim x→2 (x²+3x−1)의 값을 극한의 성질을 단계별로 적용하여 구해 보세요.
- lim x→3 (x²−9)/(x−3)의 값을 구하고, x=3을 바로 대입할 수 없는 까닭을 설명해 보세요.
- lim x→0 (√(x+4)−2)/x의 값을 분자의 유리화를 이용하여 구해 보세요.
- lim x→∞ (2x²+x)/(x²−5)의 값을 분모의 최고차항으로 분자와 분모를 나누어 구해 보세요.
- lim x→2 (x³−8)/(x−2)의 값을 인수분해를 이용하여 구해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 대입하면 바로 풀리는 lim x→2 (x²+3x−1)과 대입이 막히는 lim x→3 (x²−9)/(x−3)을 나란히 제시해 차이를 물어요.
- 전개 1: 극한의 합·차·곱·몫 성질을 정리하고, 몫의 성질은 분모의 극한이 0이 아닐 때만 쓸 수 있다는 조건을 확인해요.
- 전개 2: 0/0 꼴, ∞/∞ 꼴, 무리식이 섞인 꼴을 카드로 나누어 모둠별로 알맞은 변형 방법을 찾아 풀이해요.
- 정리: 미정계수 문제에서 분모의 극한이 0이면 분자의 극한도 0이어야 한다는 원리를 다 함께 확인해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
lim x→1 (x²+ax+b)/(x−1)=5를 만족시키는 상수 a, b의 값을 구하는 과정을, 분모와 분자의 극한 사이의 관계를 근거로 들어 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 분모의 극한이 0이고 극한값이 존재하므로 분자의 극한도 0이어야 함을 밝혀 1+a+b=0을 세우고, 인수분해 후 극한값 조건으로 a=3, b=−4를 정확히 구함 |
| 중 | 1+a+b=0은 세웠으나 근거 설명이 불충분하거나, 이후 극한값 계산에서 일부 실수가 있음 |
| 하 | 분자의 극한이 0이어야 하는 조건을 찾지 못하고 x=1을 대입하는 데 그침 |
세특 기재 예시 예시
극한값 계산 활동에서 분모의 극한이 0인 경우 몫의 성질을 그대로 쓸 수 없음을 지적하고 인수분해로 공통인수를 약분하는 과정을 칠판에 제시함. 무리식이 포함된 극한에서 분자를 유리화하는 방법을 스스로 찾아 x→0일 때의 극한값 1/4을 구함. 미정계수 문제에서 분자의 극한도 0이 되어야 한다는 조건을 논리적으로 설명하여 모둠원의 이해를 도움.
이 예시는 192자, 나이스 기준 466Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
0/0 꼴을 보면 값이 0이거나 1이라고 단정하는 학생이 많아요. 0/0은 값이 정해지지 않은 꼴일 뿐이며, 약분이나 유리화 후 극한값이 6, 1/4처럼 다양하게 나온다는 사례를 비교하게 하고, 약분은 x≠a이기 때문에 가능하다는 점도 확인해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘함수의 극한과 연속’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘구간, 닫힌구간, 열린구간, 반닫힌(반열린) 구간, 수렴, 극한(값), 좌극한, 우극한, 발산, 무한대, 연속, 불연속, 연속함수, 최대·최소 정리, 사잇값 정리, [a,b], (a,b), [a,b), (a,b], lim(x→a) f(x), lim(x→a−) f(x), lim(x→a+) f(x), ∞’를 다룬다.
- 무한을 수학적으로 다루는 방법에 흥미와 관심을 갖도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 함수의 극한과 연속에 대한 뜻과 성질을 그래프를 통해 직관적으로 이해하게 하고, 이때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 함수의 연속성을 판정하는 과정에서 체계적으로 사고하여 의사 결정하는 태도를 기르게 한다.
- 함수의 극한과 연속의 뜻과 성질에 대한 이해 여부를 평가할 때, 복잡한 합성함수나 절댓값이 여러 개 포함된 함수와 같이 지나치게 복잡한 함수를 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.