고등학교 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속 · 2022 개정 교육과정
[12미적Ⅰ-01-01] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12미적Ⅰ-01-01] 함수의 극한의 뜻을 알고, 이를 설명할 수 있다.
쉽게 풀어 보면
x가 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 일정한 값 L에 한없이 가까워지는 것을 극한이라 하고, 그 뜻을 표와 그래프로 설명하는 성취기준이에요. 함숫값 f(a)와 극한값은 서로 다를 수 있다는 점, 좌극한과 우극한이 같아야 극한이 존재한다는 점이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
가까워지는 값 읽어 내기
- f(x)=(x²−1)/(x−1)에서 x가 0.9, 0.99, 1.01, 1.1일 때의 함숫값을 표로 정리하고, x→1일 때의 극한값을 추측해 보세요.
- f(x)=x+1 (x≥0), f(x)=x−1 (x<0)일 때 x→0+와 x→0−에서의 극한을 각각 구하고, lim x→0 f(x)가 존재하는지 판단해 보세요.
- f(x)=1/x²에서 x가 0에 가까워질 때 함숫값이 어떻게 변하는지 설명하고, 이를 극한 기호로 나타내 보세요.
- x→∞일 때 f(x)=3−1/x의 극한값을 구하고, 그래프의 점근선과 연결하여 설명해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: x=1에 빈 점이 있는 y=(x²−1)/(x−1)의 그래프를 보여 주고, 함숫값이 없는데도 y값이 2 근처로 모이는 까닭을 질문해요.
- 전개 1: 계산기로 x를 1의 왼쪽과 오른쪽에서 각각 접근시키며 표를 채우고, 양쪽에서 다가갈 때의 값을 비교해요.
- 전개 2: 여러 조각함수 그래프를 놓고 좌극한과 우극한이 같은 경우와 다른 경우를 모둠별로 분류해요.
- 정리: 'x가 a에 한없이 가까워질 때'에 x=a 자체는 포함되지 않음을 짚고, 극한의 뜻을 자신의 말로 적어요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
함수 f(x)가 x≠2일 때 f(x)=x+3이고 f(2)=1이다. lim x→2 f(x)의 값과 f(2)의 값을 각각 구하여 비교하고, 두 값이 다를 수 있는 까닭을 극한의 뜻을 이용하여 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 극한값 5와 함숫값 1을 정확히 구하고, 극한은 x=2 근처의 값만으로 결정되며 x=2에서의 함숫값과는 무관함을 좌극한과 우극한을 들어 논리적으로 설명함 |
| 중 | 극한값과 함숫값을 바르게 구했으나 두 값이 다를 수 있는 까닭을 극한의 뜻과 연결하여 설명하는 부분이 부족함 |
| 하 | 극한값을 구할 때 x=2를 그대로 대입하여 1이라고 답하거나 두 값을 구별하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
함수의 극한 탐구 활동에서 x²−1을 x−1로 나눈 함수의 값을 1의 양쪽에서 표로 정리하여 함숫값이 정의되지 않는 점에서도 극한값 2가 존재함을 설명함. 조각함수의 좌극한과 우극한이 다른 사례를 직접 만들어 극한이 존재하지 않는 조건을 친구들에게 소개함. 극한값과 함숫값을 구별해야 하는 까닭을 그래프의 빈 점과 채운 점으로 나타내어 정리함.
이 예시는 192자, 나이스 기준 468Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
학생들은 극한값을 그 점에서의 함숫값과 같은 것으로 여기는 경우가 많아요. f(a)가 정의되지 않거나 다른 값이어도 극한은 존재할 수 있음을 빈 점이 있는 그래프로 보여 주고, 극한은 x=a 근처의 움직임만으로 결정된다는 점을 강조해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘함수의 극한과 연속’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘구간, 닫힌구간, 열린구간, 반닫힌(반열린) 구간, 수렴, 극한(값), 좌극한, 우극한, 발산, 무한대, 연속, 불연속, 연속함수, 최대·최소 정리, 사잇값 정리, [a,b], (a,b), [a,b), (a,b], lim(x→a) f(x), lim(x→a−) f(x), lim(x→a+) f(x), ∞’를 다룬다.
- 무한을 수학적으로 다루는 방법에 흥미와 관심을 갖도록 다양한 교수·학습 경험을 제공한다.
- 함수의 극한과 연속에 대한 뜻과 성질을 그래프를 통해 직관적으로 이해하게 하고, 이때 공학 도구를 이용할 수 있다.
- 함수의 연속성을 판정하는 과정에서 체계적으로 사고하여 의사 결정하는 태도를 기르게 한다.
- 함수의 극한과 연속의 뜻과 성질에 대한 이해 여부를 평가할 때, 복잡한 합성함수나 절댓값이 여러 개 포함된 함수와 같이 지나치게 복잡한 함수를 포함하는 문제는 다루지 않는다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.