중학교 수학 · 수와 연산 · 2022 개정 교육과정
[9수01-02] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[9수01-02] 소인수분해를 이용하여 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있다.
성취기준 해설
초등학교에서 학습한 최대공약수와 최소공배수의 개념을 바탕으로 소인수분해를 이용하여 최대공약수와 최소공배수를 구하게 한다. 최대공약수와 최소공배수는 자연수의 소인수분해를 이용하는 범위에서 다루고, 최대공약수와 최소공배수의 활용 문제는 다루지 않는다.
쉽게 풀어 보면
초등학교에서 배운 최대공약수와 최소공배수를 소인수분해로 구하는 성취기준이에요. 두 수를 거듭제곱 꼴로 나타낸 뒤 공통인 소인수의 지수를 비교해 고르는 원리를 이해하는 것이 핵심이고, 활용 문제는 다루지 않아요.
학습지 문항 예시 예시
소인수분해로 최대공약수와 최소공배수 구하기
- 72와 120을 각각 소인수분해하여 거듭제곱을 사용해 나타내세요.
- 72와 120의 최대공약수와 최소공배수를 소인수분해를 이용하여 구하고, 각 소인수에서 어떤 지수를 골랐는지 쓰세요.
- 2²×3×5와 2×3²×7의 최대공약수와 최소공배수를 소인수의 곱으로 나타내세요.
- 12, 18, 30의 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정을 설명해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 18과 24의 공약수와 공배수를 나열하는 초등 방식으로 최대공약수와 최소공배수를 구해 보고, 수가 커지면 불편하다는 점을 느껴요.
- 전개 1: 18=2×3², 24=2³×3으로 나타내고, 두 수를 모두 나누는 수는 각 소인수의 지수가 작거나 같은 쪽까지만 가질 수 있음을 함께 확인해요.
- 전개 2: 최소공배수는 두 수의 소인수를 모두 포함해야 하므로 지수가 크거나 같은 쪽을 고른다는 점을 표로 정리하고 72와 120에 적용해요.
- 정리: 세 수의 경우로 넓혀 연습하고, 지수 고르기 규칙을 자기 말로 한 문장씩 써 봐요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
84와 90을 각각 소인수분해하고, 이를 이용하여 두 수의 최대공약수와 최소공배수를 구하는 과정을 서술하시오. 또 각 소인수의 지수를 그렇게 고른 이유를 약수와 배수의 뜻을 들어 설명하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 84=2²×3×7, 90=2×3²×5로 바르게 나타내고 최대공약수 6, 최소공배수 1260을 구하며, 지수를 고른 이유를 약수와 배수의 뜻으로 논리적으로 설명함 |
| 중 | 소인수분해와 최대공약수, 최소공배수는 바르게 구했으나 지수를 고른 이유에 대한 설명이 부족하거나 모호함 |
| 하 | 소인수분해는 하였으나 최대공약수나 최소공배수를 구할 때 공통이 아닌 소인수를 빠뜨리거나 지수를 잘못 골라 값이 틀림 |
세특 기재 예시 예시
소인수분해를 이용해 최대공약수와 최소공배수를 구하는 활동에서 72와 120을 거듭제곱으로 나타내고 공통인 소인수의 지수를 비교하여 두 값을 정확히 구함. 최대공약수는 지수가 작거나 같은 쪽을, 최소공배수는 지수가 크거나 같은 쪽을 고르는 이유를 약수와 배수의 뜻으로 설명함. 두 수의 곱이 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같음을 여러 예로 확인하여 모둠에 공유함.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
최소공배수를 구할 때 공통인 소인수만 곱하거나, 최대공약수에서 지수가 큰 쪽을 고르는 실수가 많아요. 90의 소인수 5처럼 한쪽에만 있는 소인수는 최소공배수에는 들어가고 최대공약수에는 들어가지 않는다는 점을 표로 비교하게 지도해 주세요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- ‘수와 연산’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘소수, 합성수, 거듭제곱, 지수, 밑, 소인수, 소인수분해, 서로소, 양수, 음수, 양의 정수, 음의 정수, 정수, 수직선, 양의 유리수, 음의 유리수, 유리수, 절댓값, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 역수, 유한소수, 무한소수, 순환소수, 순환마디, 제곱근, 근호, 무리수, 실수, 분모의 유리화, 양의 부호(), 음의 부호(), , ≤, ≥, 순환소수 표현(예. ), ’를 다룬다.
- 정수와 유리수의 사칙계산의 원리를 이용하는 문제를 해결하기 위해 더 나은 계산 방법을 끈기 있게 찾아보게 하고, 풀이 과정과 결과를 반성하는 태도를 갖게 한다.
- 제곱근과 무리수는 피타고라스 정리를 이용하여 도입할 수 있다.
- 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이 등을 이용하여 무리수의 존재를 직관적으로 이해하게 한다.
- 제곱근의 값은 계산기 등을 이용하여 구할 수 있음을 알게 한다.
- 정수, 유리수와 관련하여 지나치게 복잡한 계산을 포함하는 문제는 다루지 않는다.
- 사칙계산 이외의 이항연산 문제는 다루지 않는다.