고등학교 확률과 통계 · 경우의 수 · 2022 개정 교육과정
[12확통01-01] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12확통01-01] 중복순열, 같은 것이 있는 순열을 이해하고, 그 순열의 수를 구하는 방법을 설명할 수 있다.
성취기준 해설
중복순열, 같은 것이 있는 순열 등을 이해하는 과정에서 필요한 경우, <공통수학1>의 경우의 수와 연계되는 내용은 간단히 다룰 수 있다.
쉽게 풀어 보면
서로 다른 n개에서 중복을 허락해 r개를 택해 일렬로 늘어놓는 중복순열과, 같은 문자가 섞여 있을 때의 순열을 다루는 성취기준이에요. 공식을 외우기보다 각 자리마다 선택지가 몇 개인지, 같은 것끼리 자리를 바꿔도 같은 배열이 되는 까닭이 무엇인지를 말로 설명하게 하는 것이 핵심이에요.
학습지 문항 예시 예시
같은 문자가 있는 배열과 중복순열
- 숫자 0, 1, 2를 중복하여 사용할 수 있을 때 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수를 구하고, 백의 자리를 따로 생각해야 하는 이유를 쓰세요.
- 서로 다른 편지 5통을 서로 다른 우체통 3개에 넣는 방법의 수가 3⁵인지 5³인지 판단하고 그 근거를 설명해 보세요.
- BANANA의 여섯 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수가 60임을, 같은 문자끼리 바꾸어도 같은 배열이 된다는 점을 이용해 설명하세요.
- 가로 4칸, 세로 3칸인 바둑판 모양 도로에서 왼쪽 아래 끝에서 오른쪽 위 끝까지 최단 경로로 가는 방법의 수를 →와 ↑의 배열로 바꾸어 구해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 숫자 0~9로 네 자리 비밀번호를 정할 때 같은 숫자를 다시 써도 된다면 경우가 몇 가지인지 묻고 10⁴ = 10000을 함께 확인해요.
- 전개 1: 각 자리에 올 수 있는 선택지를 칸 그림으로 표시하며 ₙΠᵣ = nʳ가 되는 과정을 곱의 법칙과 연결해요.
- 전개 2: A, A, B를 a₁, a₂, B로 구별했다가 다시 같게 보는 활동으로, 3×2×1을 2×1로 나누는 까닭을 모둠별로 설명하게 해요.
- 정리: 최단 경로 문제를 문자 배열로 바꾸는 연습을 하며, 상황을 어떤 순열로 모델링했는지 근거를 한 줄로 기록해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
MATHEMATICS의 11개 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수를 구하는 과정을 제시하고, 같은 것이 있는 순열의 수를 구할 때 나눗셈이 필요한 까닭을 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | M, A, T가 각각 2개씩임을 찾아 11개를 모두 다른 것으로 본 나열의 수를 2×2×2로 나누어 4989600을 구하고, 같은 문자끼리의 자리 교환이 중복으로 세어짐을 근거로 설명함 |
| 중 | 중복된 문자를 찾아 나눗셈 식을 세웠으나 계산 실수가 있거나 나누는 까닭을 구체적으로 설명하지 못함 |
| 하 | 11개 문자를 모두 서로 다른 것으로 보고 나열하여 중복된 배열을 제거하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
중복순열 단원에서 편지를 우체통에 넣는 상황과 우체통을 편지에 배정하는 상황을 비교하여 거듭제곱의 밑과 지수가 무엇으로 정해지는지 표로 정리함. 같은 것이 있는 순열을 다룰 때 같은 문자에 첨자를 붙였다 지우는 방법으로 나눗셈의 의미를 동료에게 설명함. 격자 도로의 최단 경로 수를 문자 배열 문제로 바꾸어 해결하는 과정을 발표함.
이 예시는 185자, 나이스 기준 459Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
중복순열에서 학생들은 '편지 5통, 우체통 3개'를 보고 5³으로 쓰는 실수를 자주 해요. 선택하는 주체인 편지마다 고를 수 있는 대상인 우체통이 몇 개인지 먼저 말하게 하면, 선택지 수가 밑이 되고 선택 횟수가 지수가 된다는 점을 스스로 바로잡을 수 있어요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 중복순열과 중복조합을 실생활 문제해결에 활용해 봄으로써 그 유용성을 인식하게 한다.
같은 영역의 다른 성취기준
왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.