고등학교 수학과 문화 · 예술과 수학 · 2022 개정 교육과정
[12수문01-01] 성취기준 해설과 수업·평가 예시
성취기준 원문
[12수문01-01] 음악과 관련된 수학적 내용을 조사하고, 관련 활동을 수행할 수 있다.
성취기준 해설
피타고라스 음계를 분석해 보며 악기와 화음과 관련된 수학적 원리를 조사하고, 이를 활용하여 음악을 창작하거나 악기를 만드는 등 관련 활동을 수행하게 한다.
쉽게 풀어 보면
피타고라스 음계를 출발점으로 줄의 길이와 음 높이의 관계, 그리고 옥타브(2:1)·완전 5도(3:2)·완전 4도(4:3)처럼 잘 어울리는 음정이 간단한 정수비를 이룬다는 원리를 조사하는 성취기준이에요. 빨대 피리나 고무줄 악기를 계산한 길이대로 만들어 실제 소리와 비교해 보는 활동이 수업의 중심이에요.
학습지 문항 예시 예시
피타고라스 음계와 줄의 길이
- 길이 60 cm인 줄을 튕겨 '도' 소리가 날 때, 한 옥타브 높은 '도'를 내려면 줄의 길이를 몇 cm로 해야 하는지 구하세요.
- 같은 줄에서 완전 5도 높은 '솔'을 내려면 줄의 길이를 원래의 2/3로 해야 해요. 60 cm 줄에서 '솔'을 내는 길이를 구하세요.
- 완전 5도 위로 올리기(진동수 × 3/2)를 두 번 하고 한 옥타브 내리면(÷ 2) '레'가 돼요. 도의 진동수를 1로 할 때 '레'의 진동수 비를 구하세요.
- 완전 5도를 12번 쌓은 값 (3/2)¹²과 7옥타브 2⁷이 정확히 같지 않다는 사실이 악기 조율에서 어떤 문제를 만드는지 설명해 보세요.
수업 흐름 예시 예시
- 도입: 기타 줄의 한가운데를 눌러 튕기면 한 옥타브 높은 소리가 나는 장면을 보여 주며 줄의 길이와 음 높이의 관계를 예상해 봐요.
- 전개 1: 줄의 길이와 진동수가 반비례한다는 점을 정리하고, 2:1, 3:2, 4:3의 비로 옥타브, 완전 5도, 완전 4도를 만드는 피타고라스의 방법을 계산해요.
- 전개 2: 모둠별로 빨대 피리나 고무줄 악기를 계산한 길이대로 만들고, 조율 앱으로 실제 음 높이를 확인해 오차를 기록해요.
- 정리: 5도를 12번 쌓으면 7옥타브와 조금 어긋나는 피타고라스 콤마를 확인하고, 수학이 조율 방식의 고민으로 이어진다는 점을 정리해요.
서술형 평가 문항과 채점 기준 예시
길이 48 cm인 줄에서 나는 소리를 '도'로 정할 때, 피타고라스의 방법에 따라 한 옥타브 위 '도', 완전 5도 위 '솔', 완전 4도 위 '파'를 내는 줄의 길이를 각각 구하고, 이 음들이 원래 음과 잘 어울리는 이유를 진동수의 비와 연결하여 서술하시오.
| 수준 | 채점 기준 |
|---|---|
| 상 | 세 음의 줄 길이를 24 cm, 32 cm, 36 cm로 정확히 구하고, 길이와 진동수의 반비례 관계와 간단한 정수비가 어울림을 만든다는 점을 논리적으로 설명함 |
| 중 | 줄 길이 계산은 대부분 맞았으나 한 음의 계산에 오류가 있거나 진동수 비와의 연결 설명이 부족함 |
| 하 | 길이와 진동수의 관계를 정비례로 잘못 적용하여 줄 길이를 구하지 못함 |
세특 기재 예시 예시
음악 속 수학 탐구에서 피타고라스 음계를 조사하고 줄의 길이와 진동수가 반비례한다는 관계를 이용해 옥타브, 완전 5도, 완전 4도를 내는 길이를 계산함. 계산한 길이대로 빨대 피리를 만들어 조율 앱으로 실제 음 높이를 측정하고 오차의 원인을 빨대 끝부분의 공기 흐름에서 찾아봄. 완전 5도를 열두 번 쌓으면 일곱 옥타브와 조금 어긋난다는 사실을 거듭제곱 계산으로 확인함.
이 예시는 207자, 나이스 기준 503Byte예요. 과목별 세특은 1,500Byte(500자)까지 써요. 내 문장은 나이스 글자수·바이트 계산기로 세어 볼 수 있어요.
세특에는 학생이 실제로 한 활동과 교사가 관찰한 내용만 써요. 대회명·기관명처럼 쓰면 안 되는 내용은 생기부 기재 금지 사전에서 확인할 수 있어요.
학생들이 자주 헷갈리는 점
줄이 길수록 높은 소리가 난다고 생각하거나, 길이를 두 배로 하면 한 옥타브 올라간다고 거꾸로 적용하는 학생이 많아요. 기타 줄을 짧게 눌러 직접 소리를 들려주고 길이와 진동수가 반비례함을 표로 확인한 뒤 계산하게 해요.
이 영역의 적용 시 고려 사항 (고시 원문)
- 예술 속에 나타나는 수학의 아름다움을 느끼고 유용성을 인식하게 한다.
- 수학과 관련된 영상물, 전시회, 공연 및 강연 등의 다양한 문화생활을 체험할 수 있는 기회를 제공하고, 체험 과정에서 알게 된 수학 내용에 대해 흥미를 갖게 한다.
- 예술 관련 작품을 제작하는 활동을 수행할 때 독창적인 아이디어를 표현하는 데 중점을 두도록 한다.
- 예술 작품을 다룰 때 교육적으로 부적절한 내용이 포함되지 않도록 한다.
- 음악, 미술, 문학, 영화 등에 관련한 수학적 원리를 탐구할 때 학생 개인의 진로와 연결하여 관련 주제를 다루게 할 수 있다.
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왓퀴즈는 이런 AI예요
왓퀴즈는 한국 학교의 수업과 기록 업무에 맞춘 교사용 AI예요. 이 사전과 같은 2022 개정 교육과정 성취기준 데이터로 학습지, 수업 PPT, 평가계획서 초안을 만들고, 2026학년도 학교생활기록부 기재요령 원문을 바탕으로 세특 초안을 쓰고 기재 금지 표현을 검사해요.